第九章 第八节　曲线与方程-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P384] [保分练] 1．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　) A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线 解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线． 答案　D 2．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM， 则MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1， 所以|PM|＝ ＝， 即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2. 答案　D 3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A­B­C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是(　　) 解析　当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)， 则(0≤y≤1)，故y′＝1－ (0≤x′≤2,0≤y′≤1)． 当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)， 所以y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)， 由此可知P′的轨迹如D所示，故选D. 答案　D 4. 动点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上异于椭圆顶点A(a,0)，B(－a,0)的一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F1P，F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的(　　) A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的右支 D．一条直线 解析　如图，设切点分别为E，D，G，由切线长相等可得|F1E|＝|F1G|，|F2D|＝|F2G|，|PD|＝|PE|.由椭圆的定义可得|F1P|＋|PF2|＝|F1P|＋|PD|＋|DF2|＝|F1E|＋|DF2|＝2a， 即|F1E|＋|GF2|＝2a，也即|F1G|＋|GF2|＝2a，故点G与点A重合，所以点M的横坐标是x＝a，即点M的轨迹是一条直线(除去A点)，故选D. 答案　D 5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0) C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0) 解析　设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x>0，b＝3y>0.点Q(－x，y)故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)． 答案　A 6．已知A(－5,0)，B(5,0)，动点P满足||，||，8成等差数列，则点P的轨迹方程为________． 解析　由已知得||－||＝8. 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支， 且a＝4，b＝3，c＝5， 所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥4)． 答案　－＝1(x≥4) 7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________________． 解析　设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2. 答案　y＝2x－2 8．设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是______________． 解析　由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|， 又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|DO|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4. 答案　x2＋y2＝4 9.如图，动圆C1：x2＋y2＝t2(1<t<3)与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程． 解析　由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3，0)． 设点A的坐标为(x0，y0)， 由曲线的对称性，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)， 直线AA1的方程为y＝(x＋3)．　① 直线A2B的方程为y＝(x－3)．　② 由①②相乘