第八章 第一节　空间几何体的结构特征及三视图与直观图-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P355] [保分练] 1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(　　) A．正方体的三视图是三个全等的正方形 B．球的三视图是三个全等的圆 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析　画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆． 答案　B 2．如图所示，几何体的正视图与侧视图都正确的是(　　) 解析　侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B. 答案　B 3．如图为一个几何体的三视图，则该几何体是(　　) A．四棱柱 B．三棱柱 C．长方体 D．三棱锥 解析　 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，即为一个平放的三棱柱． 答案　B 4．如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是(　　) 解析　由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故选B. 答案　B 5．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是(　　) A．定 B．有 C．收 D．获 解析　这是一个正方体的平面展开图，向外翻折时其直观图如右图， 其中面“努”与面“有”相对，所以若图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”． 答案　B 6．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为(　　) A．2 B．6 C．1 D． 解析　因为底面用斜二测画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四边形的短边，此对角线的长为2，所以该四棱锥的体积为V＝× 2×1×3＝2. 答案　A 7．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的(　　) 解析　通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C符合要求． 答案　C 8.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 解析　由题意画出该圆柱的侧面展开图及点M，N的位置，如图所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.故选B. 答案　B 9．一只蚂蚁从正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 解析　由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D. 答案　D 10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P­BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为(　　) A．1 B． C. D．2 解析　在正视图中，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边A1D1上移动，设正方体的棱长为a，则S正视图＝×a2；设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a2，所以的最大值为＝2，故选D. 答案　D 11．如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为(　　) A．4π2 B．2π2 C．5π2 D．4π2 解析　沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC，则AC＝3π，展开后AB的长度为π.设圆柱的高为h，则AC2＝AB2＋h2，即9π2＝π2＋h2，得h＝2π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×2π＝4π2. 答案　A 1