第八章 第三节　空间点、线、面的位置关系-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P359] [保分练] 1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(　　) A．4 B．3 C．3 D．1 解析　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面． 答案　A 2．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足：a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系(　　) A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面 解析　设α∩β＝l，且l与a，b均不重合，假设a∥b∥c，由a∥b可得a∥β，b∥α，又α∩β＝l，可知a∥l，b∥l，又a∥b∥c，可得c∥l，因为α，β，γ两两互相垂直，可知l与γ相交，即l与c相交或异面．若l与a或b重合，同理可得l与c相交或异面，可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行． 答案　B 3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　) A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 解析　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD. 答案　C 4．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　如图，直线l，m，n不过同一点，且l，m，n共面有三种情况：①同一平面内三线平行；②两平行线与另一线相交；③三线两两相交． 因此，“l，m，n两两相交”是“l，m，n共面”的一种情况，即“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件． 答案　B 5．在如图所示的正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中 ，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则直线BF与平面AD1E的位置关系是(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．异面 解析　如图，取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF∥BE，OF＝BE， ∴四边形BFOE是平行四边形， ∴BF∥OE， ∵BF⊄平面AD1E，OE⊂平面AD1E，∴BF∥平面AD1E. 答案　A 6．正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条． 解析　如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条． 答案　6 7．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________． 解析　取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， 所以C1D＝AD， 所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为. 答案　 8．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 解析　还原成正四面体A­DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面． 又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④. 答案　②③④ 9.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解析　(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得CH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC. ∴四边形BCHG为平行四边形． (2)∵BE綊AF，G是FA的中点， ∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形， ∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH， ∴EF∥CH，∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面． 10．已知空间四边形ABCD的对角线AC＝20，BD＝19，异面直线AC与BD所成角的余弦值为，点P，Q，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形PQMN是平行四