第八章 第七节　利用空间向量求空间角-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P367] [保分练] 1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　) A. B． C. D． 解析　建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)，＝(1,0，－2)， ∴B1M与D1N所成角的余弦值为＝＝. 答案　C 2．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　) A. B． C. D． 解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)， ∴1＝(0,3,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,3，－1)． 设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取y＝1，得n＝(2,1,3)． ∴cos〈，n〉＝＝， ∴DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为. 答案　A 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A. B． C. D． 解析　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设棱长为1， 则A1(0,0,1)，E， D(0,1,0)， ∴＝(0,1，－1)， ＝， 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则n1＝(1,2,2) 又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)， ∴cos〈n1，n2〉＝＝. 即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为. 答案　B 4．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　) A. B． C. D． 解析　设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B1(0，，2)，F(1,0,1)，E，G(0,0,2)， ＝(1，－，－1)，＝，＝(1,0，－1)． 设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则z＝1，y＝， 故n＝(1，，1)为平面GEF的一个法向量，所以cos〈n，〉＝＝－， 所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为. 答案　A 5．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二两角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6.BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　) A．150° B．45° C．60° D．120° 解析　如图所示，二面角的大小就是〈，〉． ∵＝＋＋， ∴2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝2＋2＋2＋2·， ∴·＝[(2)2－62－42－82]＝－24. 因为·＝24，cos〈，〉＝＝， 又〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝60° 故二面角为60°. 答案　C 6．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，二面角B­AA1­C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为________． 解析　由题意可知，∠BAC＝60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，∠ABC＝90°， 则·＝(－)·(＋)＝4， ||＝2，||＝4，cos〈，〉＝＝，故tan〈，〉＝. 答案　 7.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________. 解析　如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系． 设AE＝a，则B(0，，0)，D(0，－，0)， F(－1,0,3)，E(1,0，a)，∴＝(－1,0,3)，＝(0，2，0)，＝(－1，，－a)．设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 则y＝0，令z＝1，得x＝－a， ∴n＝(－a,0,1)， ∴cos〈n，〉＝＝. ∵直线OF与平面BED所成角的大小为45°， ∴＝， 解得a＝2或a＝－(舍去)，∴AE＝2. 答案　2 8.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝