专题03 完全平方公式与整式的除法-【备考先锋必刷题】2022-2023学年七年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）完全平方公式 1、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。 完全平方公式的特点： （1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同； （2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同； （3）公式中的a,b可以是数，也可以是单项式或多项式。 （4）完全平方公式的变形公式：① ② ③ ④ ⑤ 2、完全平方公式的几何意义 ①如图1中，左下角正方形面积为 ，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有 ②如图2中，一方面大正方形面积为 ，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有 3、完全平方公式的应用。完全平方式：形如或者的叫做完全平方式。完全平方公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及完全平方公式的变形公式。 （二）整式的除法 1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。 例题分析 考点1 完全平方公式的应用及变形 【例1】．运用完全平方公式进行计算： （1）（4m+n）2； （2）（y﹣）2； （3）（﹣2x+5）2 （4）（x﹣y）2； （5）1022； （6）992． 变式训练 【变1-1】．（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式，求k的值； （2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式，求k的值． 【变1-2】.（1）已知x+y＝3，xy＝2，求（x﹣y）2，x2+y2的值． （2）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝5，求①a2+b2的值；②求ab的值． 【变1-3】．解答下列各题： （1）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，求a2+b2+ab的值； （2）已知x2+y2＝25，x+y＝7，且x＞y，求x﹣y的值； （3）已知a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，且a≠b，求a﹣b的值． 【变1-4】．已知x、y满足x2+y2+＝2x+y，求的值． 【变1-5】．已知m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0 ∴（m+n）2＝0，（n﹣3）2＝0 ∴n＝3，m＝﹣3 ∴ 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求的值； （2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣8b﹣10a+41＝0，求△ABC中最大边c的取值范围； （3）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2﹣2x+2y+3的值总是正数． 考点2 整式的除法 【例2】．已知2x﹣y＝10，求代数式[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y的值． 变式训练 【变2-1】．已知被除式是2x3﹣2x2+1，商式是3x，余式是x+1，则除式是　 　． 【变2-2】．已知一个多项式除以多项式a2+4a﹣3，所得商式是2a+1，余式为2a+8，这个多项式是　 　． 【变2-3】．已知关于x的多项式2x2+5x+m能被（x+4）整除，求m的值． 【变2-4】．已知多项式x3+ax2+bx+c能分解为x2+3x﹣4与另一个因式的乘积，求2a﹣2b﹣c的值． 【变2-5】．观察下列各式： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1 （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1 （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1 根据你发现的规律解答下列各题： （1）直接写出结果：（x5﹣1）÷（x﹣1）＝　 　； （2）根据你发现的规律，计算1+2+22+23+……+22020+22