8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系-【三维同步讲练】2022-2023学年高一数学同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教A版2019必修第二册）

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.理解三种语言的转换与翻译，三个基本事实的掌握与运用； 2.会用图形语言、符号语言表示点与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系． 3.能初步判断点与线、点与面、线与面的位置关系. 4.初步掌握空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系的条件. 5.掌握异面直线所成角的范围.会求异面直线所成的角. 6.能用定义判断两个空间中两个平面的位置关系. 7.会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系． 解读：1.通过本节课的学习，要求掌握三种语言表达几何中的位置关系，并能运用基本事实及推论证明点与线、点与面、线与面的位置关系. 2.通过本节课的学习，要求会用三种语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，能判断出空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，会求民面直线所成的角，能用平面几何的解题策略解决空间几何的问题. 知识点1　 平面★☆☆ 1．平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 2．平面的画法 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． 3．平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 点、直线、平面之间位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下： 点P在直线a上，记作Pa；点Q不在直线a上，记作Qa； 点A在平面α内，记作Aα；点B不在平面α内，记作Bα； 直线a在平面α内，记作aα；直线l不在平面α内，记作lα； 直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l． 【例题精析1】 如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解答】A点在直线上，而直线在平面内，点B在内，表示为：，，．故选：B. 【例题精析2】 点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解答】点A在直线l上，则，l在平面内，则，故选：D 【例题精析3】 下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【解答】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误；平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误；直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误；两直线异面满足作图规范.故选：D 【例题精析4】 空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条 【解答】三个平面可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交线，如图所示：故选：D 【例题精析5】 三个平面可以把空间分为______部分． 【解答】当三个平面平行时，可以把空间分为个部分；当三个平面中两个平面平行，另一个平面与两个平面相交时，可以把空间分为个部分；当三个平面两两相交且交线不同时，可以把空间分为个部分；当两个平面相交成十字，另一个平面与两个平面的交线垂直时，可以把空间分为个部分.故答案为：. 【对点精练1】 若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【解答】点与直线的位置关于用表示，直线在平面内或不在平面内用表示 由题意可知，故选:B. 【对点精练2】 点在直线上，可用集合符号表示为______． 【对点精练3】 根据图，填入相应的符号： A______平面ABC；A______平面BCD；BD______平面ABD． 【答案】