2.5.1向量的数量积（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

2.5.1向量的数量积 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：向量数量积的运算 必会题型二：向量的夹角及向量的模 必会题型三：结论a⊥b⇔a⋅b=0(a≠0,b≠0)的应用 必会题型四：数量积在平面几何中的应用 必会题型五：向量的数量积综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 向量的数量积的定义 1．力和力做的功 如果力的方向与物体运动的方向成角，物体在力的作用下产生了位移，那么力对物体做的功为． 当时，，即力做正功； 当时，，即力不做功； 当时，，即力做负功． 【名师点睛】(1)由力学知识可知，功是一个数量，既涉及“长度”，又涉及“角度”，而且只与这两个量有关．只有与位移平行的分力做功，而与位移垂直的分力不做功，做的功才是合力所做的功． (2)力对物体所做的功是一个数量，它由力和位移两个向量来确定．功可以看作力和位移这两个向量的某种运算的结果． 2．向量的夹角及数量积 如图2-5.1-1，已知两个非零向量和，作，向量与的夹角记为或称为与的数量积或内积，记作，即． 规定零向量与任一向量的数量积为0． 当时，，； 当时， 当时，； 当时，； 当时，． 【名师点睛】(1)对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及夹角有关，它的符号由夹角的余弦值确定． (2)运用数量积公式解题时，一定要注意两个向量夹角的范围是 必会知识二 投影 1．投影向量 如图2-5.1-2，已知两个非零向量和，作，过点向直线作垂线，垂足为，得到在上的投影称为投影向量． 称为投影向量的数量，也称为向量在向量方向上的投影数量，可以表示为． 所以投影数量是数量积的特殊情况． 【名师点睛】(1)向量在向量方向上的投影数量是一个数，且这个数可大于0，也可小于0，还可以等于0． (2)向量在向量方向上的投影数量只与向量的模及向量和的夹角有关，而与向量的模没有关系． (3)向量在向量方向上的投影数量与向量在向量方向上的投影数量一般是不同的，向量在向量方向上的投影数量为． 2．向量的数量积的几何意义 的长度与在方向上的投影数量的乘积(如图2-5.1-3)；或的长度与在方向上的投影数量的乘积． 必会知识三 数量积的运算性质 1．数量积的运算律 对任意的向量和实数： (1)交换律：； (2)与数乘的结合律：； (3)关于加法的分配律：． 【名师点睛】(1)两向量的数量积是由两向量的长度和夹角来确定的，即与两向量的次序无关，因而有交换律． (2)已知实数．但对于向量，该结论就不正确，即(不满足消去律)． 如图2-5.1-4，虽然，但．正确结论应该是若满足，则或) (3)对于实数，有，但对于向量不一定成立，即不满足结合律．这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定成立． 2．数量积的性质 (1)若是单位向量，则； (2)若是非零向量，则； (3)，即； (4)； (5)，当且仅当时等号成立． 【名师点睛】(1)利用性质(2)可以解决有关两向量的垂直问题． (2)利用性质(3)可以求向量的模． (3)利用性质(5)可以建立不等式，处理有关取值范围、函数最值及证明不等式等问题． 必会知识四 向量数量积的常用结论 (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立． 以上结论可作为公式使用． 必会知识五 ⋅的符号与，的夹角的关系 (1)当中至少有一个为0时，． (2)当均为非零向量时： 若，则； 若，则； 若，则． (3)当均为非零向量时： 若，则(特别地，若，则)； 若，则； 若，则(特别地，若，则)． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：向量数量积的运算 1．（2023春·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）对于任意的平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A．若且，则 B．若，且，则 C． D． 2．[多选]（2023春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知非零向量，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·河南郑州·统考二模）已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．12 B．4 C．3 D．1 4．（2023春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考阶段练习）在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 5．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E，F分别在BC，CD上，若EC＝2BE，F为CD的中点，则______． 6．（2