2.4.2平面向量及运算的坐标表示（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

2.4.2平面向量及运算的坐标表示 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：平面向量的坐标运算 必会题型二：向量共线的坐标表示的应用 必会题型三：利用向量运算的坐标表示解决平面几何问题 必会题型四：向量运算的坐标表示综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 平面向量的坐标表示 1．平面向量的坐标表示 如图2-4.2-1，在平面直角坐标系中，分别取与轴轴方向相同的两个单位向量作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量，以坐标原点为起点作(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数，使． 因此，．我们把称为向量在标准正交基下的坐标，向量可以表示为． 【名师点睛】(1)是根楛平面向量基本定理得出来的，因此的值是唯一确定的． (2)向量的坐标表示是恍向量的几何表示、字母表示后的又一表示方法．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示． (3)注意书写椱式，在向量的坐标表示中含有等号，即，不能写成． (4)几个特殊向量的坐标：． (5)由向量的坐标表示知，两向量相等等价于它们的坐标相等，即且，其中． (6)向量的坐标表示了向量在轴轴正方向上的位移． 2．平面向量与有序实数对的对应关系 在平面直角坐标系中，点的位置被它的位置向量所唯一确定，设点的坐标为，容易看出，即点的位置向量的坐标也就是点的坐标；反之，点在平面直角坐标系中的坐标也是点所决定的位置向量的坐标． 【名师点睛】(1)在平面直角坐标系下有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为加以区分，常说点或向量的坐标为． (2)在平面直角坐标系中，向量具有特殊的意义，在解决很多问题时，常常把向量的起点平移到原点，我们把向量作为与它相等的所有向量的一个代表． 必会知识二 平面向量运算的坐标表示 1．平面向量加、减运算的坐标表示 设，则，根据向量的运算律，可得， 即． 同理，． 这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2．平面向量数乘运算的坐标表示 设，则，即． 因此，实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积． 3．由向量起点和终点坐标求向量坐标的方法 如图2-4.2-2，设点，则，． 即． 这就是说，一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标． 【名师点睛】(1)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两向量的坐标相同时，两个向量相等，但它们的起点和终点的坐标却不一定相同．例如，若，，则，显然，但各点的坐标都不相同． (2)运算时，注意向量的起点与终点的顺序不要颠倒． 4．线段的中点坐标公式 若点，点，线段的中点的坐标为，则此公式为线段的中点坐标公式． 必会知识三 平面向量共线的坐标表示 1．平面向量共线的坐标表示：设，其中，则向量共线的充要条件是． 【推导过程】当时，，用坐标可写成，即中至少有一个不为0．不妨设，则，代人得，即． 2．两个向量共线的几种不同的表示方法 已知，且． (1)．这是几何运算，体现了向量与向量的长度及方向之间的关系． (2)．这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引人参数“”，从而减少了末知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征． (3)当时，，即若两个向量平行，则这两个向量的相应坐标成比例．这种形式不易出现搭配错误． 必会知识四 定比分点的坐标表示 1．线段定比分点的定义 如图6-3.2-5，设是直线上两点， 点是上不同于的任意一点，则 存在一个实数，使叫作点 分线段所成的比，点叫作线段 以定比为的定比分点． 2．定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若,则,所以故点的坐标为． 在使用定比分点坐标公式时，应明确的意义，它们分别为分点、起点、终点的坐标．但在具体问题的计算中，往往是自行确定起点、分点、终点，并且这些点必须与定比分点公式中的起点、分点、终点相对应． 3．定比分点的两种特殊情况 利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式． (1)中点坐标公式：设的中点为，则．利用中点坐标公式可解决与两点的中点有关的问题． (2)重心坐标公式：在中，，则的重心的坐标为． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：平面向量的坐标运算 1．（2023·河北·高三学业考试）已知点，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·北京·高一北京市陈经纶中学校考阶段练习）已知向量．若，则向量（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，若满足，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考