第19讲 空间图形的表面积和体积-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）

第19讲 空间图形的表面积和体积 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式；理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 2.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式；理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 ( 知识精讲 ) 知识点01 空间图形的表面积 1.直棱柱及其侧面积和表面积 (1)直棱柱、正棱柱的概念 侧棱和底面垂直的棱柱叫作 。特别地，底面为正多边形的直棱柱叫作 。直棱柱的侧棱长就是直棱柱的 (两底面所在平面之间的距离)。 (2)直棱柱的侧面积和表面积 将直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是直棱柱的 。如图，直棱柱的侧面展开图是 ，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h.因此，直棱柱的侧面积是 ，表面积是 。 2.正棱锥及其侧面积和表面积 (1)正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为 。正棱锥的侧棱长都 ，侧面均为全等的 。 (2)正棱锥的侧面积和表面积：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成的，如图所示。如果正n棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h' ，则它的侧面积为 ，表面积为 。 3.正棱台及其侧面积和表面积 (1)正棱台的概念：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作 。正棱台的侧棱长都 ，侧面均为全等的 。 (2)正棱台的侧面积和表面积 正n棱台的侧面展开图是由n个全等的等腰梯形组成的，如图：设正n棱台的上、下底面边长分别是a'，a，斜高为h'，则正n棱台的侧面积 ，表面积 ，其中c'，c分别是上、下底面的周长。 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及表(侧)面积公式 （1）圆柱 ；；。其中,r是底面半径,l是母线长。 （2）圆锥 ；；。其中,r是底面半径,l是母线长。 （3）圆台 ；，；。其中,r',r分别是上、下底面半径,l是母线长。 【微点拨】求空间几何体的表面积(侧面积) (1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何表面积问题的主要出发点。 (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积.注意衔接部分的处理。 【即学即练1】毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（    ）平方米. A． B． C． D． 知识点02 空间图形的体积 1.柱体的体积 (S是底面面积，h是柱体高)，(r是底面半径,h是高). 2.锥体的体积 (S是底面面积，h是锥体高)， （r是底面半径，h是高). 3.台体的体积 （S'、S分别是上、下底面面积，h是台体高)， （r',r分别是上、下底面半径，h是高). 【微点拨】求空间几何体的体积 (1)若所给的几何体是可直接用公式求体积的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解。 (2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法或补形法等方法进行求解。 【即学即练2】已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．1 D． 知识点03 球的表面积和体积 1.球的表面积 设球的半径为R，那么它的表面积 。 2.球的体积 设球的半径为R，那么它的体积 。 3.解决与球有关的切、接问题的策略 (1)“接”的处理 ①构造正(长)方体，转化为正(长)方体的外接球问题； ②空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当 (过球心或接点等)； ③利用球心与截面圆心的连线垂直于截面来确定 所在直线。 (2)“切”的处理 ①体积分割法求内切球半径； ②作出合适的截面(过球心或切点等)，在平面上求解； ③多球相切问题，连接各球