第五章 分式与分式方程（基础版）-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末知识梳理与题型归纳（北师大版）

第五章 分式与分式方程 认识分式 · 分式的基本概念 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式． 整式与分式统称为有理式． · 在理解分式的概念时，注意以下三点： ①分式的分母中必然含有字母； ②分式的分母的值不为0； ③分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． · 分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式，当时，分式有意义；当时，分式无意义． · 分式的值为零 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． · 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． · 上述性质用公式可表示为 ，()． · 注意： ①在运用分式的基本性质时，基于的前提是； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 在、、、、、中，分式的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：根据分式的定义，分式有，，，共有3个， 故选：． 若把分式的，同时扩大3倍，则分式值　　 A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【解答】解：， 即如果把分式中的和都同时扩大3倍，那么分式的值扩大3倍， 故选：． 若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：， ． 故答案为：． 已知分式的值为0，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得：且， ， 故选：． 分式与的最简公分母是　　 A． B． C． D． 【解答】解：分式与的最简公分母是， 故选：． 已知，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 【解答】解：原式 ． ， ． 原式 ． 故选：． 约分： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 先约分，再求值：，其中，． 【解答】解：原式， ， ， 当，时， 原式． 1. 在代数式，，，，，中，分式共有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：代数式，，，，，中，分式共有：，，共3个． 故选：． 2. 下列各式不是分式的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：一般地，如果、不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式， 故选：． 3. 化简分式的结果是　　 A． B． C． D． 【解答】解： ， 故选：． 4. 下列各分式中，最简分式是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意； ，故本选项不符合题意； ．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意； ，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：． 5. 在有理式，中，分式有　3　个． 【解答】解：分式有，，，共3个， 故答案为：3 6. 在代数式中，分式有　2　个． 【解答】解：，的分母中含有字母，是分式． 故答案是：2 7. 化简分式　　． 【解答】解：原式， 故答案为：． 8. （多选）下列语句及写成式子不正确的是　、、　． ； 分式、、都是最简分式； ； 当时，则代数式． 【解答】解：．，符合题意； ．分式不是最简分式，符合题意； ．，符合题意； ．当时，则代数式，不符合题意． 故答案为：、、． 9. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：　①③④　（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： 　　． （3）应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【解答】解：（1）①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为①③④； （2）， 故答案为； （3）解方程组得， 方程组有正整数解， 即且能被5整除， 解得或． 10. 给定下面一列分式：，，（其中 （1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式． 【解答】解：（1）；规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于； （2）由式子：，，发现分母上是，，，故第7个式子分母上是，分子上是， ，，故第7个式子是，再观察符号发现第偶数个为负，第奇数个为正， 第7个分式应该是． 分式的乘除法 · 分式的乘法：． · 分式的除法：． · 分式的乘方：(为正整数)． · 整数指数幂运算性质： ①(、为整数)； ②(、为整数)； ③(为整数)； ④(，、为整