第二章 第6讲 对数与对数函数-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习·理科数学［全国统考版］ 第6讲　对数与对数函数 1．对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 图象过点(1，0) 单调性 在(0，＋∞)上是 单调递增的 在(0，＋∞)上是 单调递减的 函数值 正负 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 4.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．对数的性质(a＞0，且a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即logab＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1)； (3)logambn＝logab(a>0且a≠1，b>0，m≠0)； (4)logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．(0，e) B．(0，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) 答案　B 解析　要使函数f(x)＝有意义，则解得0<x≤e，则函数f(x)的定义域为(0，e]．故选B. 2．(2022·辽宁锦州一模)若4x＝5y＝3，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为(　　) A．y＜x＜z B．z＜x＜y C．x＜y＜z D．z＜y＜x 答案　A 解析　∵4x＝5y＝3，∴x＝log43，y＝log53，∵0＜log43＜log44＝1，0＜log53＜log55＝1，且log53＜log43，∴0＜y＜x＜1，根据函数的单调性可知，logxy＞logxx＝1，即z＞1，∴y＜x＜z.故选A. 3．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) 答案　B 解析　若a>1，则y＝ax是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若0<a<1，则y＝ax是减函数，y＝loga(－x)是增函数．故选B. 4．函数y＝lg |x|(　　) A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 答案　B 解析　显然y＝lg |x|是偶函数，又x>0时，y＝lg x单调递增，所以y＝lg |x|在(－∞，0)上单调递减．故选B. 5．(2023·陕西榆林第十中学期中)函数y＝log2(4＋3x－x2)的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　函数y＝log2(4＋3x－x2)的定义域为(－1，4)．要求函数y＝log2(4＋3x－x2)的单调递增区间，只需求y＝4＋3x－x2的单调递增区间，只需x＜，所以－1＜x＜，所以函数y＝log2(4＋3x－x2)的单调递增区间是.故选C. 6．(2023·柳州模拟)计算：log2＝________；2log23＋log43＝________． 答案　－　3 解析　＝ 考向一　对数的化简与求值 例1　(1)化简lg －lg ＋lg ＝________． 答案　 解析　lg －lg ＋lg ＝×(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(lg 5＋2lg 7)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7＝lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝. (2)若lg x＋lg y＝2lg (2x－3y)，则log的值为________． 答案　2 解析　依题意，可得lg (xy)＝lg (2x－3y)2，即xy＝4x2－12xy＋9y2，整理得，4－13＋9＝0，解得＝1或＝.因为x>0，y>0，2x－3y>0，所以＝，所以＝2. (3)若log147＝a，14b＝5，则用a，b表示log3528为________． 答案　 解析　∵a＝log147，b＝log145，∴a＋b＝log1435.又log1