第十章 第3讲 变量间的相关关系与统计案例-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第3讲　变量间的相关关系与统计案例 1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关. 2．回归方程与回归分析 (1)线性相关关系与回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程 ①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法； ②回归方程：方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数． (3)回归分析 ①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法； ②样本点的中心：在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，＝(x1＋…＋xn)，＝(y1＋…＋yn)，(，)称为样本点的中心； ③相关系数r＝，当r>0时，两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关；当|r|≤1且|r|越接近于1时，表明两个变量线性相关性越强；当|r|≤1且|r|越接近于0时，表明两个变量线性相关性越弱.通常当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． (4)回归分析模型拟合效果的判断 相关指数R2＝1－，R2越接近于1，表示回归效果越好. 3．独立性检验 (1)独立性检验的有关概念 ①分类变量 可用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量． ②2×2列联表 假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2)独立性检验 利用随机变量K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 步骤如下： ①计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0： P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”． 1．求解回归方程的关键是确定，，应充分利用回归直线过样本点的中心(，)． 2．根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值． 3．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，K2越大，则两个分类变量有关的把握越大． 1．下面是一个2×2列联表： y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 总计 b 46 120 其中a，b处填的值分别为(　　) A．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52 答案　C 解析　由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74.故选C. 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做了试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现的A，B两变量有更强的线性相关性(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　D 解析　|r|越大，m越小，线性相关性越强，故选D. 3．(2023·四川南充模拟)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　) A．r2<r1<0 B．0<r2<r1 C．r2<0<r1 D．r2＝r1 答案　C 解析　对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0.故选C. 4．