第十一章 高考大题专题研究6 专题研究 概率、随机变量及分布列问题-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 命题动向：通过近五年的高考试题分析，在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布列相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常设计成包含统计图表的识别、概率的计算、分布列、随机变量的数学期望与方差等知识的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力． 专题研究　概率、随机变量及分布列问题 题型一　求离散型随机变量的均值与方差 例1　(2023·广东惠州模拟)惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲、乙两个小组分别从6道题目中随机抽取3题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6道题目中，甲小组能正确回答其中4题，而乙小组能正确回答每题的概率均为.甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立、互不影响的． (1)求甲小组至少答对2道题目的概率； (2)若从甲、乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？ 解　(1)设甲小组抽取的3题中回答正确的题数为X， 甲小组至少答对2道题目可分为答对2题或答对3题： P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所求概率P(X≥2)＝＋＝. (2)甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的可能取值分别为1,2,3. P(X＝1)＝＝， 结合(1)可知E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. 设乙小组抽取的3题中回答正确的题数为Y，则Y～B， E(Y)＝3×＝2， D(Y)＝3××＝. 由E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)可得，甲小组代表学校参加全市决赛更好． [解题策略]　离散型随机变量的均值与方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值与方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应． 变式训练1　(2022·四川成都模拟)某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98.为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理． (1)假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求P(X≥2)，并说明上述监控生产过程规定的合理性； (2)该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为1－p.若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用为1000元，修理费用为5000元，乙部件的检测费用为2000元，修理费用为4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由． 参考数据：0.9810≈0.82,0.989≈0.83,0.988≈0.85. 解　(1)由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以X～B(10,0.02)． 所以P(X＝0)＝C×0.020×0.9810≈0.82， P(X＝1)＝C×0.021×0.989≈0.166， 所以P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈0.014. 由P(X≥2)≈0.014可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件．因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的． (2)①若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为ξ元，则ξ的所有可能取值为6000,7000， 则P(ξ＝6000)＝p，P(ξ＝7000)＝1－p， 所以E(ξ)＝6000p＋7000(1－p)＝7000－1000p， ②若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为η元，则η的所有可能取值为6000,8000， 则P(η＝6000)＝1－p，P(η＝8000)＝p， 所以E(η)＝6000(1－p)＋8000p＝6000＋2000p， 所以E(ξ)－E(η)＝1000－3000p， 所以当0<p<时，E(ξ)>E(η)，应先检测乙部件； 当p＝时，E(ξ)＝E(η)，先检测甲部件或乙部件均可； 当<p<1时，E(ξ)<E(η)，应先检测甲部件． 题型二　概率与统计的综合问题 例2　(202