第十一章 第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第9讲　离散型随机变量的均值、方差和正态分布 1．离散型随机变量的均值与方差 (1)若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. ②方差 称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)两点分布与二项分布的均值、方差 均值 方差 变量X服从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p) (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②D(aX＋b)＝a2D(X)；(a，b为常数) ③E(k)＝k(k为常数)； ④E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； ⑤D(X)＝E(X2)－(E(X))2； ⑥若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)； ⑦D(k)＝0(k为常数)． 2．正态分布 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示． (3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2). (4)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974. 1．E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定．随机变量X是可变的，可取不同的值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态． 2．变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位． 3．方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的． 4．若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝. 1．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.1，则P(2≤ξ<4)为(　　) A．0.7 B．0.5 C．0.4 D．0.35 答案　C 解析　由P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.1，可得μ＝4，且P(2≤ξ<4)＝×(1－0.1×2)＝0.4. 2．(2023·浙江台州模拟)随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝(　　) ξ 0 1 x P p A．0.36 B.0.52 C．0.49 D.0.68 答案　C 解析　先由随机变量分布列的性质求得p＝.由E(ξ)＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2.所以D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49. 3．设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝(　　) A．1 B．5 C．2 D． 答案　B 解析　由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1，0,1,2,3,4}，∵ξ＝m2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为，，，，，∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＋16×＝5.故选B. 4．(2023·山西大同模拟)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　　) A． B． C．4 D． 答案　B 解析　由题意，知X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝. 5．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的