第十一章 第8讲 n次独立重复试验与二项分布-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第8讲　n次独立重复试验与二项分布 1．条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率的性质 一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)若B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2.事件的相互独立 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立． (2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)； ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)·P(A2)P(A3)…P(An). (2)二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 1．A，B中至少有一个发生的事件为A∪B. 2．A，B都发生的事件为AB. 3．A，B都不发生的事件为. 4．A，B恰有一个发生的事件为(A)∪(B)． 5．A，B至多有一个发生的事件为(A)∪(B)∪()． 1．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等(区域的分界线忽略不计)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝.则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 2．(2022·内蒙古包头模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　A 解析　P＝1－n≥，解得n≥4.故选A． 3．袋中有红、黄、蓝球各1个，从中有放回地每次任取1个，直到取到红球为止，则第4次首次取到红球的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　前3次都取不到红球的概率为3，第4次取到红球的概率为，则第4次首次取到红球的概率为3×＝. 4．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp·(1－p)＋Cp2＝，解得p＝.故P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－C×4－C××3＝. 5．(2023·甘肃庆阳模拟)由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝. 6．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________. 答案　　 解析　由题可得一次活动中，甲获胜的概率为×＝，则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C×2×＋3＝. 考向一　条件概率 例1　(1)投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题意知事件A包含的样本点为(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，在事件A发生的条件下，事件B包含的样本点为(1,3)，(3,1)共2个，所以P(B|A)＝.故选C． (2)(2023·西安模拟)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题设，得P(B)＝＝，P(