第十一章 第6讲 几何概型-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第6讲　几何概型 1．几何概型 (1)几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的两个基本特点 2．几何概型的概率公式 P(A)＝. 　几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关． (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题． (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题． 1．在长为6 m的木棒上任取一点M，点M到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　将木棒三等分，当点M位于中间一段(不包括两个三等分点)时，点M到木棒两端点的距离都大于2 m，所以P＝＝. 2．(2023·内蒙古通辽模拟)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240分钟，即4个小时，所以所求的概率为＝.故选D. 3．(2023·陕西宝鸡模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点M，点M在球O内的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为×3＝πa3，故点M在球O内的概率为＝. 4．在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，则在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)．事件A为“两数之和大于”，即x＋y>，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)．由几何概型的概率计算公式，得P(A)＝＝，故选B. 5．(2023·四川宜宾模拟)不等式组所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先产生两组(每组100个)在区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，x100和y1，y2，…，y100，由此得到100个点(xi，yi)(i＝1,2，…，100)，再数出其中满足yi<x(i＝1，2，…，100)的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为(　　) A．0.33 B．0.66 C．0.67 D． 答案　C 解析　设平面区域Ω的面积为S，依题意≈，得S≈0.67.故选C． 6．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________. 答案　3 解析　由题意，知m>0，当0<m<2时，－m≤x≤m，此时所求概率为＝，解得m＝(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为＝，解得m＝3；当m≥4时，概率为1，不符合题意．故m＝3. 考向一　与长度有关的几何概型 例1　(1)(2023·内蒙古包头模拟)在区间[－1，1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y＝k(x－2)的距离为 .要使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点，需<1，解得－<k<，所以在区间[－1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x－2)与圆x2＋y2＝1有两个交点的概率P＝＝.故选D. (2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________. 答案　 解析　本题可以看成向区间[0,5] 内均匀投点，设A＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P(A)＝＝. 　　求解与长度有关的几何概型应注意的问题 (1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比． (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度． 　1.在长为16 cm的线段MN上任取一点A，以MA，NA的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设MA＝x cm,0<x<16，则NA＝(16－x) cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝＝.