第十一章 第3讲 二项式定理-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第3讲　二项式定理 1．二项式定理的内容 (1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)． (2)第r＋1项，Tr＋1＝Can－rbr. (3)第r＋1项的二项式系数为C(r＝0,1，…，n). 2．二项式系数与项的系数的区别 (a＋bx)n的展开式中，二项式系数是指C，C，…，C，它们是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如第r＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－rbr.当然，在某些特殊的二项展开式(如(1＋x)n)中，各项的系数与二项式系数是相等的． 3．二项式系数的性质 (1)0≤r≤n时，C与C的关系是相等. (2)二项式系数先增后减，中间项最大，且n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大为C；当n为奇数时，第＋1和＋1项的二项式系数最大，最大为C或C. (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝2n－1，C＋C＋C＋…＝2n－1. 1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题． 2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同，项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念． 1．二项式6的展开式的常数项为(　　) A．±15 B．15 C．±20 D．－20 答案　B 解析　二项式6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r·r＝(－1)rCx6－3r.令6－3r＝0，得r＝2，∴展开式的常数项是C＝15.故选B. 2．(2023·甘肃兰州模拟)若(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则＋＋＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　令x＝0，得a0＝1.令x＝，得4＝a0＋＋＋＋，所以＋＋＋＝4－1＝.故选D. 3．(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为(　　) A．－10 B．－5 C．5 D．10 答案　B 解析　(x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－ryr，令5－r＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3，∴(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为1×C＋(－1)×C＝－5.故选B. 4．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为(　　) A．500 B．－500 C．150 D．－150 答案　C 解析　由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16(负值舍去)，则n＝4.展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C(5x)4－r(－)r＝(－1)r54－r·Cx.令4－＝3，得r＝2，则x3的系数为(－1)2×52×C＝150. 5．在6的展开式中，x6的系数是________. 答案　160 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x3)6－r·r＝26－rC·x18－4r，令18－4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23C＝160. 6．(2023·河北沧州模拟)5的展开式中的常数项为________. 答案　－81 解析　5＝·，所以展开式中的常数项为(－1)5＋CC×(－2)×(－1)3＋CC×(－2)2×(－1)＝－81. 精准设计考向，多角度探究突破 考向一　求展开式中的特定项或特定项的系数 角度　求二项展开式中的特定项或特定项的系数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(1)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 答案　C 解析　(－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·(－2)r＝(－2)rCx，令＝2，得r＝1，则x2的系数为(－2)1C＝(－2)×5＝－10.故选C． (2)(2023·四川乐山模拟)二项式6的展开式中的常数项是________. 答案　540 解析　二项式6的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－rr＝C26－rrx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以二项式展开式中的常数项为C×26－3×3＝540. (3)(2022·山西太原模拟)已知9的展开式中x3的系数为，则a＝________. 答案　4 解析　9的展开式的通项为Tr＋1＝C9－r·r ＝(－1)r·a9－r·2·C·x. 令r－9＝3，得r＝8，则(－1)8·a·2－4·C＝，解得a＝4. 　　求二项展开式中的特