第十一章 第2讲 排列与组合-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第2讲　排列与组合 1．排列与排列数 (1)排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A. 2．组合与组合数 (1)组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C. 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 排列数公式A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝ 组合数公式C＝＝＝ 性质 (1)A＝n！； (2)0！＝1 (1)C＝1； (2)C＝ C； (3)C＋C＝C 备注 n，m∈N*且m≤n 解决排列与组合问题的“四项基本原则” (1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置． (2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列． (3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题． (4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配． 1．若A＝10A，则n＝(　　) A．1 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，n≥3，整理，得n＝8. 2．5名男同学、6名女同学排成一排，要求男同学顺序一定且女同学顺序也一定，不同排法种数为(　　) A．C B．2C C．A D．A 答案　A 解析　共11名同学排成一排有11个位置．从11个位置中选出5个位置，共有C种选法，每一种选法的5个位置让男同学按着一定顺序去排，余下6个位置让女同学按一定顺序去排． 3．(2023·甘肃庆阳模拟)某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有(　　) A．12种 B．24种 C．18种 D．36种 答案　D 解析　元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人乘坐同一部电梯有C＝3种选法，再将2个“元素”安排乘坐四部电梯有A＝12种安排方法，则不同的乘坐方式有3×12＝36种．故选D. 4．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是(　　) A．20 B．19 C．10 D．9 答案　B 解析　“error”由5个字母组成，其中有3个字母相同，这相当于5个人站队，只要给e，o选定位置，其余三个相同的字母r的位置也就固定，即所有拼写方式为A，error拼写错误的种数为A－1＝19. 5．用0～9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　) A．324 B．328 C．360 D．648 答案　B 解析　首先应考虑特殊元素“0”，当0排在末位时，有A＝9×8＝72个，当0不排在末位时，有AAA＝4×8×8＝256个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个． 6．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种． 答案　36 解析　先选2名同学作为一组，选法有C＝6种，然后将3组同学分配到3个小区，分法有A＝6种，根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36种． 考向一　排列问题 例1　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排一排，女生必须站在一起； (5)全体排一排，男生互不相邻； (6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排一排，甲必须排乙前面； (8)全部排一排，甲不排在左端，乙不排在右端． 解　(1)A＝2520种方法． (2)A＝5040种方法． (3)解法一：先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种方法． 解法二：先排排头和排尾有A种方法，其余位置有A种排法，故共有AA＝3600种方法． (4)将女生看成一个整体，用捆绑法，共有AA＝576种方法． (5)先排女生有A种，再将男生插空有A种，故共有AA＝1440种方法． (6)将甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲、乙有A种方法，再排中间三人有A种方法，最后将他们看作一个整体与剩下的2人全排列，有A种方法，故共有AAA＝7