第十二章 第5讲 数学归纳法-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第5讲　数学归纳法 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基． (2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 2．数学归纳法的框图表示 数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，当n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　凸n边形的边最少有三条，故第一步检验n等于3.故选C． 2．已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明(　　) A．n＝k＋1时命题成立 B．n＝k＋2时命题成立 C．n＝2k＋2时命题成立 D．n＝2(k＋2)时命题成立 答案　B 解析　因为n是正偶数，所以只需证命题对所有正偶数都成立．偶数k的下一个偶数是k＋2.故选B. 3．(2022·上海市复旦实验中学期末)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”等式右边的变化结果是(　　) A．增乘一个因式2k＋1 B.增乘两个因式2k＋1和2k＋2 C．增乘一个因式2(2k＋1) D.增乘2k＋1同时除以k＋1 答案　C 解析　当n＝k(k∈N*)时，则有(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)；当n＝k＋1时，则有(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2k＋1×1×3×…×(2k＋1)．由于＝2(2k＋1)，故从“n＝k到n＝k＋1”等式右边的变化结果是增乘一个因式2(2k＋1)．故选C． 4．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　1＋＋＋…＋＝>，整理，得2n>128，解得n>7.所以初始值至少应取8.故选B. 5．(2022·江西萍乡模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝________时，命题亦真． 答案　2k＋1 解析　n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立． 6．(2022·四川省绵阳南山中学期中)设f(n)>0(n∈N*)，f(2)＝，并且对于任意m，n∈N*，f(m＋n)＝f(m)f(n)成立．猜想f(n)的表达式为________. 答案　f(n)＝(n∈N*) 解析　因为f(n)>0(n∈N*)，f(2)＝，对于任意m，n∈N*，f(m＋n)＝f(m)f(n)成立，所以f(2)＝f(1)f(1)＝，所以f(1)＝，f(3)＝f(2)f(1)＝，f(4)＝f(2)f(2)＝，故可猜想f(n)＝(n∈N*)，当n＝1时，f(1)＝，等式成立，设当n＝k时，等式也成立，即f(k)＝(k∈N*)，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)f(1)＝×＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．综上所述，f(n)＝(n∈N*)． 考向一　数学归纳法证明恒等式 例1　(2022·云南大理阶段考试)对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)． 证明　①当n＝1时，1×1＝1， ×1×(1＋1)×(1＋2)＝1，所以等式成立． ②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，等式成立， 即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)， 则当n＝k＋1时， 1·(k＋1)＋2·[(k＋1)－1]＋3·[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)，即当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②可知，对任意n∈N*等式都成立． 　　利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题 (1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中