第十二章 第4讲 直接证明与间接证明-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第4讲　直接证明与间接证明 1．直接证明 内容 综合法(顺推证法) 分析法(逆推证法) 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 实质 由因导果 执果索因 框图表示 →…→ →→…→ 文字语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证……即证…… 2.间接证明 (1)反证法的定义 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． (2)利用反证法证题的步骤 ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止； ③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言． 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用． 1．(2022·山西大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证： <a”，“索”的“因”应是(　　) A．a－b>0 B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 答案　C 解析　<a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(2a＋c)(a－c)>0⇔(a－b)(a－c)>0.故选C． 2．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是(　　) A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c中至多有一个偶数 D．假设a，b，c中至多有两个偶数 答案　B 解析　“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c都不是偶数”．故选B. 3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．由a的取值确定 答案　C 解析　要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，即比较2a＋7＋2与2a＋7＋2的大小，即比较与的大小，即比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，只需比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.故选C． 4．(2023·甘肃张掖高三月考)若a>b>0，且x＝a＋，y＝b＋，则(　　) A．x>y B．x<y C．x≥y D．x≤y 答案　A 解析　因为a＋－＝(a－b)>0，所以a＋>b＋.故选A． 5．(2023·江西九江高三月考)A，B，C是△ABC的内角，α＝A＋B，β＝B＋C，γ＝A＋C，则α，β，γ一定(　　) A．都大于 B．都不大于 C．都小于 D．有一个不小于 答案　D 解析　假设α，β，γ都小于，则A＋B<，B＋C<，A＋C<，所以A＋B＋B＋C＋A＋C<×3＝2π，所以A＋B＋C<π.这与A＋B＋C＝π矛盾，所以假设不成立，所以α，β，γ有一个不小于.故选D. 6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________. 答案　m<n 解析　解法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得m<n. 解法二：(综合法)∵a>b>0，∴m＝－>0，n＝>0.m2－n2＝(－)2－()2＝2b－2＝2(－)．∵a>b>0，∴ab>b2，∴>，∴－<0，∴m2－n2<0，∴m2<n2，∴m<n. 考向一　综合法证明 例1　已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列，证明：2cos2x＝cos2y. 证明　∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny， ∴sinθ＋cosθ＝2sinx，① sinθcosθ＝sin2y，② ①2－②×2，可得(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝4sin2x－2sin2y，即4sin2x－2sin2y＝1. ∴4×－2×＝1， 即2－2cos2x－(1－cos2y)＝1. 故2cos2x＝cos2y. 　　综合法证明的思路 (1)分析条件，选择方向．分析题目中的已知条件及已知条件与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法． (2)转化条件，组织过程．把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化． (3)适当调整，回顾反思．回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的