第十二章 第2讲 数系的扩充与复数的引入-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第2讲　数系的扩充与复数的引入 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0，b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模 向量＝(a，b)的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，r∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi对应平面向量(a，b∈R)． 3．复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N)． 4．i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝0(n∈N)． 5．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，||＝，|zn|＝|z|n. 6．复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数． 7．复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数． 1．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 答案　D 解析　(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D. 2．(2022·浙江高考)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 答案　B 解析　a＋3i＝－1＋bi，而a，b为实数，故a＝－1，b＝3.故选B. 3．已知复数z＝，则(　　) A．z的模为2 B．z的实部为1 C．z的虚部为－1 D．z的共轭复数为1＋i 答案　C 解析　根据题意可知，＝＝－1－i，所以z的实部为－1，虚部为－1，模为，z的共轭复数为－1＋i.故选C． 4．若＝2－yi(x，y∈R，i为虚数单位)，则|x＋yi|＝(　　) A． B．5 C．2 D．20 答案　C 解析　∵＝2－yi(x，y∈R，i为虚数单位)，∴x＝(1＋i)·(2－yi)＝2＋y＋(2－y)i，∴x＝2＋y,2－y＝0，解得x＝4，y＝2.则|x＋yi|＝|4＋2i|＝ ＝2.故选C． 5．(2023·河南洛阳摸底)已知i是虚数单位，则复数z＝i2023＋i(i－1)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　因为z＝i2023＋i(i－1)＝i4×505＋3＋i2－i＝－1－2i，所以复数z在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限．故选C． 6．(2023·安徽毛坦厂中学月考)设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________. 答案　 解析　z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，则4t－3＝0，∴t＝. 考向一　复数的有关概念 例1　(1)(2023·江西南昌阶段考试)若纯虚数z满足(1－i)z＝1＋ai，则实数a＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案　B 解析　因为(1－i)z＝1＋ai，所以z＝＝＝＝＋i，因为z为纯虚数，所以解得a＝1.故选B. (2)(2022·北京高考)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　) A．1 B．5 C．7 D．25 答案　B 解析　由题意，有z＝＝＝－4－3i，故|z|＝＝5.故选B. 　　求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解． 　1.(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋