9.2 用样本估计总体（4种题型）-2022-2023学年高一数学教材配套题型讲解过关练（人教A版2019必修第二册）

9.2　用样本估计总体 · 考纲要求 1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法. 2.掌握用频率分布直方图估计总体. 3.掌握从常见统计图表中获取有用的信息，体会统计数学在实际生活中的应用. 4.掌握求样本数据的众数、中位数、平均数. 5.理解用样本的数字特征、直方图估计总体的集中趋势. 6.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差. 7.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法. · 知识解读 知识点①频率分布直方图 作频率分布直方图的步骤 1.求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差. 2.决定组距与组数 将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来. 3.将数据分组 4.列频率分布表 各小组的频率＝. 5.画频率分布直方图 纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×＝频率. 知识点②常见统计图表的特点与区别 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势. 知识点③百分位数 1.百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 2.常用的百分位数 (1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. (2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数. 3.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 知识点④众数、中位数、平均数 1.众数：一组数据中出现次数最多的数. 2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. 3.平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数. 知识点⑤总体集中趋势的估计 1.平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 2.一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 知识点⑥频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 1.样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. 2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. 3.将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 知识点⑦方差、标准差 1.假设一组数据为x1，x2，…xn，则这组数据的平均数＝，方差为s2＝，标准差s＝. 2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝为总体方差，S＝为总体标准差. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝. 3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差. 4.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. · 题型讲解 题型一、频率分布直方图 例1.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下： 分组 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在[10,40)上的频率为(　　) A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64 例2.为了了解中学生身体发育情况，对某中学15岁的60名女生的身高(单位：cm)进行了测量，结果如下： 154　159　166　169　159　156　166　162　158　159 156　166　160　164　160　157　151　157　161　162 158　153　158　164　158　163　158　153　157　168 162　159　154　165　166　157　155　146　1