专题09 “8”字模型（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年七年级数学下册单元题型精练（北师大版）

专题09 “8”字模型 一．选择题（共2小题） 1．如图，五角星的五个角之和，即：　　 A． B． C． D． 【解答】解：连接，设与交于点， 由得：， 在中，， 即， ， 即五角星的五个内角之和为． 故选：． 2．如图，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ． 又， ． ． 同理可得，． ． 平分交于点，平分交于点， ，． ． ． 又，， ． 故选：． 二．填空题（共11小题） 3．如图所示，，则的度数为　　． 【解答】解：由三角形外角的性质得：，， ，， ， 即：， ， ． 故答案为：． 4．的度数　　． 【解答】解：连接． 在和中，， ， 故答案为： 5．如图所示，　360　度． 【解答】解：，， ． 故答案为：360． 6．如图，的度数为　　 【解答】解：如图， ，， ， 故答案为：． 7．如图，　180　． 【解答】解：如图，设线段，分别与线段交于点，． ，，， ， 故答案为：180． 8．如图，　540　． 【解答】解：如图， ， 而， ， ． 故答案为540． 9．如图，　180　． 【解答】解：如图， ，，， ， 故答案为：180． 10．如图所示，求　540　度． 【解答】解： 连接， ，， 又， ， ， ， 故答案为：540． 11．如图，　360　． 【解答】解：如图，延长交于点， 由三角形外角性质可知： ，， ， 在四边形中，由四边形内角和可知： ， ． 故答案为：360． 12．如图，则的度数为　　． 【解答】解：连接， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图所示，，则的度数为　　． 【解答】解：如图所示，， ，， 又是的外角，是的外角， ，， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 14．如图1，已知线段、相交于点，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：． 利用以上结论解决下列问题： （2）如图2所示，，则的度数为　　． （3）如图3，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，． ①若，，求的度数． ②若角平分线中角的关系改成“，”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由． 【解答】解：（1）证明：在图1中，有，， ， ； （2）如图2所示， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． （3）①以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有 ， 、分别平分和， ，， ， ，， ； ②，其理由是： ，， ，， 以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有 ， ． ， ． 15．在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： （1）已知：如图1，三角形，求证：，证明：过点作． （2）如图2，线段、相交于点，连接、，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：　　； （3）在图2的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：过作， ，， 又， ； （2）解：根据（1）得， 又， ； 故答案为：； （3）解：． 根据（2）①，②， 和的平分线和相交于点， ，， ①②得：， ． 16．已知，如图，线段、相交于点，连结、，和的平分线和相交于点．试问与、之间存在着怎样的数量关系，请说明理由． 【解答】解：，理由如下： 如图， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，． 17．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故．得．将点移到、内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在如图2中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图3，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求如图4中的度数． 【解答】解：（1）不成立，结论是． 延长交于点， ， ， 又， ； （2）结论：． 连接并延长， 是的外角，是的外角， ，， ，即； （3）由（2）的结论得：．． 又 ． （或由（2）的结论得：且， ． 18．如图1至图2，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点；为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟： （1）如图1，延长交于点，若，． 解决问题： ①　60　； ②求证：； 深入探究； （2）如图2，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示　　； 拓展延伸： （3