【选修二】第五章 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第五章 一元函数的导数及其应用 第1课时 第5.3.2节 授课人：XXX 函数的极值与 最大（小）值 学习目标 借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 核心素养 数学抽象 极大值、极小值的概念. 逻辑推理 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 数学运算 会利用导数求函数的极大值、极小值. 知识回顾 函数的单调性与导数的正负之间的关系 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间内，如果，那么函数在区间内单调递增； 在某个区间内，如果，那么函数在区间内单调递减. 课程导入 问题01 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点处的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 函数的极值 01 问题探究 观察右图，我们发现，当时，跳水运动员距水面的高度最大. 那么，函数在此点处的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？ 问题02 问题探究 如图，放大附近函数的图象. 可以看出，； 在的附近，当时，函数单调递增，； 当时，函数单调递减，. 这就是说，在附近，函数值先增(当时，)后减(当时，). 这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有. 单调递增 单调递减 对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？ 问题探究 如图，函数在等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？ 问题03 问题探究 以两点为例，可以发现， 函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧. 类似地，函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧. 函数极值的概念 我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值； 叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点. 极小值和极大值统称为极值. 函数极值的概念 极大值一定大于极小值吗？ 问题04 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值. 极值与导数的关系 ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 极值与导数的关系 函数的极值点与函数的单调区间有什么关系？ 问题05 极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点， 极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点. 因此，若函数在内有极值，那么在内不是单调函数. 问题探究 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 问题06 导数值为0的点不一定是函数的极值点. 例如，对于函数，我们有. 虽然，但由于无论，还是，恒有， 即函数是增函数，所以0不是函数的极值点. 函数在某点取得极值的必要条件 一般地，函数在一点处的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 可导函数在某点处取得极值的充分条件是什么？ 问题07 可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号. 例题解析 求函数的极值. 例5 解： 因为，所以 令 解得 ，或 . 当变化时，的变化情况如表所示. 单调递增 单调递减 单调递增 例题解析 因此，当时，有极大值，并且极大值为 当时，有极小值，并且极小值为 函数的图象如图所示. 例题解析 总结一下求可导函数的极值的步骤. 问题08 ① 确定函数的定义域，求导数. ② 求方程的根（可能不止一个）. ③ 用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，检测在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值. 小结及随堂练习 02 函数极值的概念 课堂小结 我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值； 叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点. 极小值和极大值统称为极值. 求可导函数的极值的步骤 课堂小结 ① 确定函数的定义域，求导数. ② 求方程的根（可能不止一个）. ③ 用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，检测在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值. 随堂练习 1、的导函数的图象如图，则下列结论正确的个数为（ ） A． B． C． D． ① 在上单调递减； ② 是极大值点； ③ 是极值点； ④ 在上单调递减，在上单调递增. 随堂练习 当时，，可得