【选修二】第五章 5.3.1 函数的单调性（第1课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第五章 一元函数的导数及其应用 函数的单调性 授课人：XXX 第1课时 第5.3.1节 学习目标 通过具体函数的图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想. 1 能根据函数导数的正负判断函数的单调性，并会求函数的单调区间，体会算法思想. 2 核心素养 函数的单调性与导数的正负之间的关系. 数学抽象 会用导数求函数的单调区间. 数学运算 课程导入 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数一下性质： 本章前两节我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节课我们首先来讨论函数的单调性. 单调性 周期性 奇偶性 最大（小）值 函数的单调性与导数的正负之间的关系 01 问题探究 我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同角度描述一下函数在区间上是单调递增的吗？ 问题1 如果在区间上，自变量增大函数值也增大，那么在区间上是单调递增的； 如果函数的图象在区间上是从左到右上升的，那么在区间上是单调递增的； ，，且，都有，那么在区间上是单调递增的； ，，都有，那么在区间上是单调递增的. 1 2 3 4 问题探究 如果函数的图象在区间上是从左到右上升的，且，那么我们说函数在处是单调递增的，这种说法对吗？ 问题2 这种说法是错误的. 函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围内的性质. 问题探究 下图是某跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象. 下图是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象，，是函数的零点. 问题探究 问题3 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ ①从起跳到最高点，运动员的重心离水面的高度随时间的增加而增加，即时，单调递增. 相应地，. ②从最高点到入水，运动员的重心离水面的高度随时间的增加而减小，即时，单调递减. 相应地，. 问题探究 问题4 我们看到，函数的单调性与的正负有内在联系. 那么，我们能否由的正负来判断函数的单调性呢？ 对于上述跳水问题，可以发现： 当时，， 函数在 内单调递增； 当时，， 函数在 内单调递减. 这种情况是否具有一般性呢？ 问题探究 问题5 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. （1） （2） （3） （4） 问题探究 （1） 函数： 导数： 在 上， 函数在上单调递增 问题探究 （2） 函数： 导数： 在 上， 函数在上单调递减 在 上， 函数在上单调递增 问题探究 （3） 函数： 导数： 在 上， 函数在上单调递增 在 上， 函数在上单调递增 问题探究 （4） 函数： 导数： 在 上， 函数在上单调递减 在 上， 函数在上单调递减 问题探究 问题6 如何从导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负有内在联系？ 如图，导数表示函数的图象在点处的切线的斜率. 在处，， 切线是“左下右上”的上升式， 函数的图象也是上升的， 函数在附近单调递增. 问题探究 问题6 如何从导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负有内在联系？ 如图，导数表示函数的图象在点处的切线的斜率. 在处，， 切线是“左上右下”的下降式， 函数的图象也是下降的， 函数在附近单调递减. 结论 函数的单调性与导数的正负之间的关系 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间内，如果，那么函数在区间内单调递增； 在某个区间内，如果，那么函数在区间内单调递减. 函数的单调性与导数的正负之间的关系 问题7 如果在某个区间上恒有，那么函数有什么特性？ 如果在某个区间上恒有， 那么在这个区间上恒有（为常数）. 函数的单调性与导数的正负之间的关系 问题8 在区间内，若，则在此区间上单调递增（减），反之也成立吗？ 不一定成立. 例如，函数在定义域上单调递增，但. 也就是说是在某个区间上单调递增（减）的充分不必要条件. 例题解析 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1）； （2），； （3）. 分析 如何利用导数判断函数的单调性？ ①确定函数的定义域. ③解不等式，函数在单调区间上为增函数； 解不等式，函数在单调区间上为减函数. ②求函数的导数. 例题解析 解： （1）因为，所以 所以，函数在R上单调递增，如图所示. 例题解析 （2）因为，所以 所以，函数在上单调递减，如图所示. 例题解析 （3）因为，所以 所以，函数 在区间和上单调递增，如图所示. 例题解析 例2 已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时，. 试画出函数图象的大致形状. 分析 导数符号 函数的单调性 函数图象的大致形状 例题解析 解： 当时，，可知在区间内单调递增； 综上，函数