11.2 反比例函数的图象与性质-2022-2023学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏科版）

11.2 反比例函数的图象与性质 考点1: 反比例函数的图象和性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点） 注意：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况． 当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 考点2:反比例函数解析式的确定 1.待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 考点3:反比例函数中|k|的几何意义 1.比例函数图象中有关图形的面积 2.涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 考点4:反比例函数与一次函数的综合 1.涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 题型一：判断是否是反比例函数 1．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：）的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 3．下列关系中，成反比例函数关系的是（　　） A．在直角三角形中，30度角所对的直角边y与斜边x之间的关系 B．在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系 C．圆的面积S与它的半径r之间的关系 D．面积为2019的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系 题型二：反比例函数的性质 4．已知反比例函数，则下列描述正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 5．对于反比例函数，下列说法正确的是(　　) A．这个函数的图象分布在第二、四象限 B．随的增大而增大 C．点在这个函数图象上 D．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 6．如图所示，琪琪同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个表达式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象与x轴有交点 B．当时， C．图象与y轴的交点是 D．y随x的增大而减小 题型三：判断点是否在反比例函数图象上 7．在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 8．下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A．（2，4） B．（﹣1，8） C．（2，﹣4） D．（﹣16，﹣2） 题型四：反比例函数的增减性 9．若，，是反比例函数图像上的点，且，则，，