19.3.1 第2课时 矩形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（沪科版）

19.3.1 矩形 第19章 四边形 第2课时 矩形的判定 优翼八下数学教学课件（HK） 复习引入 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 导入新课 思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，还有其他判定矩形的方法吗？ 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 矩形是特殊的平行四边形. 对角线相等的平行四边形是矩形 新课讲授 问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 思考 你能证明这一猜想吗？ 我猜想：对角线相等的四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 已知：如图，在□ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形. 证明：∵ AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC =∠DCB. ∵ AB∥CD， ∴∠ABC +∠DCB = 180°. ∴∠ABC = 90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B C D 证一证 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 归纳总结 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD， ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形. A D C B 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你 现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC， OB = OD = BD. 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 典例精析 例2 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形. B C D E F G H O A 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等)， AO = BO = CO = DO（矩形的对角线互相平分）. ∵ AE = BF = CG = DH， ∴ OE = OF = OG = OH. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形， 且 EG = FH. ∴ 四边形 EFGH 是矩形. 练一练 1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （　　） A．AC = BD B．AC = BC C．AD = BC D．AB = AD A A D C B O 2. 如图，□ABCD 中，∠1 =∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，DO = BO. 又∵∠1 = ∠2， ∴ AO = BO. ∴ AC = BD. ∴ □ABCD 是矩形. 12 问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，这个性质的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有两个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 已知：如图，在四