19.3 正方形（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（华东师大版）

19.3 正方形 第19章 矩形、菱形与正方形 优翼八下数学教学课件（HS） 观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 情景引入 你还能举出其他的例子吗？ 导入新课 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 问题引入 正方形 正方形的性质 新课讲授 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么 发现？ 正方形 一组邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形的定义： 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 归纳总结 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 证一证 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 四边形 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此： 知识要点 A B C D 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方 形分成四个全等的等腰直角三角形. A D C B O 已知: 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰 直角三角形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC = BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都 是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 典例精析 例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD = ∠EDA = 15°. 证明：∵△BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90° - 75° = 15°. 【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连结 AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC =∠DCB = 90°．