第19章 矩形、菱形与正方形 习题课件-19.1（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（华东师大版）

八（下）数学教材习题 习题 19.1 华 师 版 1．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10． （1）求证：四边形ABCD是矩形； 证明：∵AB=6，BC=8，AC=10， ∴AB2+BC2=AC2． ∴∠ABC=90°． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 1．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10． （2）求BD的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=10． 2．如图，在▱ABCD中，O是边AB的中点，且∠AOD=∠BOC． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB，AD∥CB． ∴∠A+∠B=180°． ∵O是AB的中点，∴OA=OB． ∵∠AOD=∠BOC， ∴∠ODC=∠OCD．∴OD=OC． 在△AOD和△BOC中， ∴△AOD≌△BOC（SAS）．∴∠A=∠B． ∵∠A+∠B=180°，∴∠A=∠B=90°． 即平行四边形ABCD是矩形． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连接EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形． 证明：∵AE∥BD，DE∥AB， ∴四边形ABDE是平行四边形． ∴AB=DE，AE=BD． ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴BD=CD，AD⊥BC． ∴AE=DC，∠ADC=90°． ∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形． ∵∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE是矩形． 4．如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD与∠CDA的平分线，AF与BH交于点E，CH与DF交于点G．求证：EG=FH． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°． ∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA= （∠DAB+∠ABC）= ×180°=90°．∴∠AEB=90°． 同理：∠AFD=90°，∠DGC=90°． ∴∠HGF=∠DGC=90°． ∴四边形EFGH是矩形．∴EG=FH． 5．如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形． 证明：∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC， ∴△AEB≌△AFC． ∴EB=FC，∠ABE=∠ACF． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． ∴∠EBC=∠FCB． ∵EB=FC，EF=BC， ∴四边形EBCF是平行四边形．∴EB∥FC． ∴∠EBC+∠FCB=180°． ∴∠EBC=∠FCB=90°． ∴平行四边形EBCF是矩形． 6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使边AD与对角线BD重合，得折痕DG，AB=2，BC=1．求AG的长．（精确到0.01．提示：作GE⊥BD，记垂足为点E，设AG=x，列出x满足的等量关系） 解：如图，作GE⊥BD，记垂足为点E． ∵AB=2，BC=1，∴BD= 由折叠可得∠ADG=∠BDG． 又∵DG=DG，∠DAG=∠DEG=90°， ∴△ADG≌△EDG（AAS）． ∴AD=DE=1，AG=GE．∴BE= ∵GE2+BE2=BG2， ∴AG2+ =（2-AG）2．∴AG≈0.62． $