19.2.2 菱形的判定定理（Word教案）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（华东师大版）

2. 菱形的判定 第1课时 菱形的判定定理1 www.youyi100.com 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．理解并掌握菱形的判定定理1；(重点) 2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点)　 一、情境导入 木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边形ABCD是菱形． 二、合作探究 探究点一：菱形的判定 【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形 如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD为菱形． 解析：由ASA证明△OAD≌△OCB得出OD＝OB，得出四边形ABCD是平行四边形，再证出∠CBD＝∠CDB，得出BC＝DC，即可得出四边形ABCD是菱形． 证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCB，∠ADB=∠CBD.在△OAD和△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA）.∴OD＝OB，∠ODA＝∠OBC.∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.∴∠CBD＝∠CDB.∴BC＝DC.∴四边形ABCD是菱形． 方法总结：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、角平分线定义、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 【类型二】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形 如图，已知△ABC，按如下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE； ③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF. (1)求证：△AED≌△CFD； (2)求证：四边形AECF是菱形． 解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AD＝CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形． 证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED. 在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD(AAS)； (2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形． 方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定． 探究点二：菱形的性质和判定的综合应用 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF. (1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 解析：(1)首先利用“SSS”证明△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC.再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，进而得到∠AFD＝∠CFE；(2)首先证明∠CAD＝∠ACD，再根据“等角对等边”，可得AD＝CD.再由条件AB＝AD，CB＝CD，可得AB＝CB＝CD＝AD，可得四边形ABCD是菱形；(3)首先证明△BCF≌△DCF，可得∠CBF＝∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC＝∠DEF＝90°，进而得到∠EFD＝∠BCD. (1)证明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFD＝∠AFB.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE； (2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形； (3)解：当BE⊥CD于E时，∠EFD＝∠BCD.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.在△BCF和△DCF中， ∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，则∠BCD＋∠CB