专题08 空间几何体的结构特征、表面积和体积-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 （一）几何体的结构特征及分类 名称 定义 图形 特征 分类 棱柱 一个多边形的点沿相同方向移动相等距离形成的多面体。 1） 侧棱平行且相等； 2） 底面平行且全等； 3） 不相邻侧棱截面是平行四边形。 1） 直棱柱和斜棱柱； 2） 正棱柱和非正棱柱； 3） 三棱柱、四棱柱等。 棱锥 一个面是多边形，其余各面有一个公共点的三角形的多面体。 棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面相似，面积比等于高平方之比。 1） 三棱锥、四棱锥等； 2） 正棱锥和非正棱锥； 棱台 平行于底面的平面截去棱锥的多面体。 1） 两个面相互平行的多边形； 2） 其余各面是梯形，且相邻梯形的腰线共点。 1） 三棱台、四棱台等； 2） 正棱台和非正棱台。 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的几何体。 1） 两个底面是平行且全等的圆； 2） 轴截面是全等的矩形。 无 圆锥 以直角三角形的一直角边为轴，其余各边旋转而成的曲面所形成的几何体。 轴截面都是全等的等腰三角形。 无 圆台 以直 等腰直角梯形垂直于底边 的腰所在的直线为轴， 其 其余各边旋转而成的曲 面 面几何体。 轴截面都是全等的等腰梯形。 无 球 到定点的距离等于或小于定长的点集合。 1） 大圆：截面过球心； 小圆：截面不过球心； 2） 球心与不过球心的截面； 3） 平面截球面，截面是一个圆。 无 （二）简单组合体 组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合. ①多面体与多面体的组合体： 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． （三）斜二测画法 在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法． 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 斜二测画法的步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． （3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图． 线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验． （四）柱体、锥体、台体的表面积 A、多面体的表面积 1、多面体的表面积求法：求平面展开图的面积 注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图. 2、直棱柱的侧面积与全面积 （1）侧面积 ①求法：侧面展开（如图）； ②公式：（其中为底面周长，为侧棱长）； （2）表面积：侧面积＋两底面积. （3）推论： ①正棱柱的侧面积：（其中为底面周长，为侧棱长）. ②长方体的表面积：.（其中分别为长方体的长宽高） ③正方体的表面积：（为正方体的棱长）. 3、斜棱柱侧面积与全面积 （1）侧面积： ①求法：作出直截面（如图）； 注：这种处理方法蕴含着割补思想. ②公式：（其中为直截面周长，为侧棱长）； （2）表面积：侧面积＋两底面积. 4、正棱锥的侧面积与全面积 （1）侧面积 ①求法：侧面展开（如图）； ②公式：（其中为底面周长，为斜高）； （2）表面积：侧面积＋底面积. 5、正棱台的侧面积与全面积 （1）侧面积 ①求法：侧面展开（如图）； ②公式：（其中、为底面周长，为斜高）