专题11 直线、平面垂直的判定及其性质-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 要点一、直线和平面垂直的定义与判定 1.直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足. 2.直线和平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 要点诠释： ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 要点二、平面与平面垂直的定义与判定 1.平面与平面垂直定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图： 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号语言： 图形语言： 要点三、直线与平面垂直的性质 1.基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言： 图形语言： 2.性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言： 图形语言： 3．直线与平面垂直的其他性质 （1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若于，，则． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面． 要点诠释： 线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化． 要点四、平面与平面垂直的性质 1．性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言： 要点五、垂直证明方法总结 1、直线和平面垂直的证明 证明线面垂直的基本思路：证明线垂直面内的两条相交直线。 2、直线和直线垂直的证明 类型一：证明异面直线垂直的基本思路 ①证明一条线垂直另一条线所在的面，即通过证明线垂直来证明。（常用） ②平行与垂直的传递性质 类型二：共面直线垂直的证明基本思路 ①勾股定理逆定理 ②等腰三角形三线合一（常用） 3、平面和平面垂直的证明 证明面面垂直的基本思路：证明面内一条直线垂直另一个面。即转化为线面垂直来证明。 注意：证明面面垂直一般都是转化为线面垂直来证明。难点是找准面的垂线。找垂线的基本思路是：在一个面内垂直于面面交线的线即是另一个面的垂线。如果题目内没有出现，则需要自己做出交线的垂线，再证明。 例题分析 考点1 异面直线所成的角 【例1】．已知在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD，且点M，N分别是BC，AD的中点．若直线AB⊥CD，则直线AB与MN所成的角为　　 ． 变式训练 【变1-1】．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝5，E为B1C1的中点，则异 面直线BD与CE所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【变1-2】．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE、DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（　　） A．90° B．60° C．45° D．0° 【变1-3】．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（　　） A． B．2 C． D．4 【变1-4】．已知四面体ABCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为 　　 ． 考点2 直线与直线的垂直 【例2】．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若异面直线AD与BC所成角为90°，则EF＝_________ 变式训练 【变2-1】．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是　　 ． 【变2-2】．（多选）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　） A．直线CC1与直线B1E相交 B．CC1与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1垂直 考点3 直线与平面垂直的判定 【例3】．如图，在四面体A﹣BCD中