专题09 空间点、直线、平面之间的位置关系-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 （一）平面 平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象． 平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 平面的表示方法 (1)一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面： 画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图） 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言 空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示 点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形语言 符号语言 文字语言（读法） 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线、交于点 直线在平面内 直线与平面无公共点 直线与平面交于点 平面、相交于直线 （二）平面的基本性质 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：． 如图示：或者：∵，∴ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内； ②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面． 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式：如图示： 或者：∵，∴ 公理2的作用：①判断两个平面是否相交及交线位置； ②判断点是否在线上 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)． 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：与重合 或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． (1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据． (2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． （三）空间两直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内 没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 （四）平行直线 公理4：平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：． (1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等． （五）异面直线 定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 (1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线； (2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线 (3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法． 异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性． 异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 推理模式：直线与直线是异面直线 （六）异面直线所成的角 定义：已知，是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角． (1)异面直线所成的角与点的位置无关． (2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作． (3)异面直线所成角的范围是． 求异面直线所成角的步骤： （1）恰当选点，由平移构造出一个交角； （2）证平行关系成立； （3）把角放入三角形或其它平面图形中求出； （4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角． （七）直线、平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系有以下三种： (1)直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α. (2)直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点． (3)直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直