8.6 空间直线、平面的垂直（6种题型）-2022-2023学年高一数学教材配套题型讲解过关练（人教A版2019必修第二册）

8.6　空间直线、平面的垂直 · 考纲要求 1．理解并掌握异面直线、直线与平面、平面与平面所成的角 2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直． 3．掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题． 4．掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直． 5．掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题． · 知识解读 知识点①回顾两直线的位置关系 1．异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线． 2．两条直线的位置关系 3．两个定理 (1)平行线的传递性 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行． ②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c． (2)等角定理 ①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．平面内两直线的夹角 (1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°． (2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°． 知识点②异面直线所成的角 1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角)． 2．范围：0°<θ≤90°．特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b． 知识点③直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 知识点④直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 知识点⑤直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 知识点⑥直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 知识点⑦二面角的概念 1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 2．相关概念： (1)这条直线叫做二面角的棱； (2)两个半平面叫做二面角的面． 3．画法： 　　　　 4．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q． 5．二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 知识点⑧平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： (3)记作：α⊥β． 2．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 知识点⑨平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 · 题型讲解 题型一、异面直线所成的角 例1．如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． 例2．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________． 题型二、直线与直线垂直 例3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B． 例4．如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2．求证：BE⊥AC′． 题型三、直线与平面垂直的判定 例5．如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，