第10章 第3讲 二项式定理-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第3讲　二项式定理 ⁠ 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. [对应学生用书P207] 1.二项式定理 二项式定理 （a＋b）n＝an＋b1＋…＋bk＋…＋bn（n∈N*） 二项展开式的通项 ＝bk，它表示展开式的第⁠⁠　k＋1　⁠项 二项式系数 （k＝0，1，…，n） k＋1　 2.二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数⁠⁠　相等　⁠. （2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和：（a＋b）n的展开式的各二项式系数的和等于⁠⁠　2n　⁠. 相等　 2n　 ⁠⁠ 1.两个常用公式 （1）＋＋＋…＋＝2n. （2）＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1. 2.二项展开式的三个重要特征 （1）字母a的指数按降幂排列由n到0. （2）字母b的指数按升幂排列由0到n. （3）每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）bk是二项展开式的第k项. （　　） 答案　（1）×　 （2）在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项. （　　） 答案　（2）×　 （3）在（a＋b）n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关. （　　） 答案　（3）√　 （4）在（a＋b）n展开式的通项＝br中，a和b不能互换. （　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第三册P38T3改编）已知（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋a3＋…＋an＝31，则自然数n＝ （　　） A.6 B.5 C.4 D.3 解析　令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以1＋31＝2n，n＝5. 答案　B 3.（人A选择性必修第三册P30例2改编）在的展开式中x5的系数为（　　） A. B.－ C. D.7 解析　二项式展开式的通项为Tr＋1＝·＝·， 令4＋r＝5，解得r＝2，所以T3＝x5·＝7x5，故展开式中x5的系数为7. 答案　D ｜易错自纠｜ 4.（混淆“系数”与“二项式系数”致错）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是 （　　） A.20 B.－20 C.15 D.－15 解析　第4项的二项式系数为＝＝20. 答案　A 5.（不能转化二项式的积致错）（x＋2）6的展开式中x3的系数为（　　） A.160 B.－160 C.148 D.－148 解析　（x＋2）6的展开式中x3的系数为·23－·2＝160－12＝148. 答案　C ⁠ [对应学生用书P208] 考点1　通项公式的应用（多维探究） 角度1　形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式的特定项 [例1]　（1）（2022·山东济宁·一模）的二项展开式中的常数项为 　　　　⁠.（用数字作答）  解析　二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝（2x）6－r＝ （－1）r·26－rx6－2r， 令6－2r＝0，得r＝3，所以的二项展开式中的常数项为（－1）3·26－3＝－160. 答案　－160 （2）（2022·陕西西安·三模）的展开式中系数为有理数的各项系数之和为 　　　　⁠.  解析　因为展开式的通项为 Tr＋1＝（）6－r＝（r＝0，1，…，6），则当，均为整数，即r＝2或r＝6时，展开式中的系数为有理数，故所求系数之和为×2×3＋×33＝117. 答案　117 角度2　形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式问题 [例2]　（1）（2022·河北保定·二模）若展开式中各项的系数之和为96，则展开式中x2的系数为 　　　　⁠.  解析　由题意可知（2＋1）×2n＝96，得n＝5，则＝， 展开式的通项公式为x5－r＝x5－2r， 所以展开式中x2的系数为2＋＝25. 答案　25 （2）（2022·新高考Ⅰ卷）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 　　　　⁠.（用数字作答）  解析　因为（x＋y）8＝（x＋y）8－（x＋y）8， 所以（x＋y）8的展开式中含x2y6的项为x2y6－x3y5＝－28x2y6， 所以（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－28. 答案　－28 角度3　形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式 [例3]　（1）（2022·安徽宣城·二模）的展开式中常数项为（　　） A.－6 B.－20 C.0 D.20 解析　由的展开式可知，常数项为 ·（－2）···＋·（－2）3＝－20. 答案　B （2）（2023·四川德阳·三模）（x2＋x－2y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　） A.120 B.60 C.40 D.