第7章 自主培优13 立体几何中的动态问题-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第七章　立体几何 自主培优13　立体几何中的动态问题 对应学生用书P154 　　解决立体几何中的动态问题需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在解“动态”的立体几何问题时，需要努力探寻运动过程中“静”的一面，往往能以静制动、克难制胜. 类型一　轨迹问题 [典例1]　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，点Q是△PBC内（含边界）的一个动点，且满足DQ⊥AC，则点Q所形成的轨迹长度是 　　　　⁠.  解析　如图，连接BD，交AC于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 取PC上一点M，连接MD，MB，且DM⊥AC，又AC⊥BD，BD∩DM＝D，所以AC⊥平面BDM，则点Q的轨迹是线段BM. 以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），D（0，－1，0），P，C（－，0，0），＝（，0，0），＝，＝，＝（0，－2，0）. 设＝＋＝＋λ＝＋λ，0≤λ≤1， 则＝. 因为OA⊥DM，所以·＝0，解得λ＝， 所以＝，＝＋＝（0，－2，0）＋＝， 所以｜｜＝＝，即点Q所形成的轨迹长度为. 答案　 ⁠ 以立体几何为载体的轨迹问题，将立体几何和解析几何巧妙地结合在一起，综合性强.解答这类问题的关键是将空间问题转化为平面问题，一般可以从两方面考虑：一是利用曲线的定义；二是利用解析法求出轨迹方程. [典例2]　（多选）关于正方体ABCD－A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的是（　　） A.若点P在直线BC1上运动，三棱锥A－D1PC的体积不变 B.若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1 C.若点P在线段BC1（含端点）上运动时，直线AP与DC所成角的范围为 D.若点P在线段BC1（含端点）上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角 类型二　动角的范围问题 解析　对于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，则点P到平面AD1C的距离不变，由△AD1C的面积为定值，可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确； 对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点， 则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确； 对于C，直线AP与DC所成角即为∠PAB，当P与C1重合时，∠PAB最大，且tan ∠PAB＝，所以∠PAB＜，故C错误； 对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为，故D错误.故选AB. 答案　AB ⁠ 立体几何中的动角范围问题一般是结合线面关系，推断动角的特征或变化关系，结合动角特征探究角的最值或范围. $