第7章 自主培优12 立体几何最值问题的函数模型解法-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第七章　立体几何 自主培优12　立体几何最值问题的函数模型解法 对应学生用书P148 　　立体几何中的最值问题，涉及的类型一般为几何体的棱长、体积的最值，角的最值等，解决的方法是利用基本不等式求解，或设出变量，建立函数关系式，利用函数的性质求解. 类型一　体积的最值问题 [典例1]　（1）已知在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，BC＝2，PA＝3，∠PAC＝90°，∠BAC＝120°，则三棱锥P－ABC的体积的最大值为（　　） A.6 B.4 C.2 D.2 解析　因为∠PAC＝90°，即PA⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥平面ABC. 在△BAC中，BC＝2，∠BAC＝120°，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC， 即24＝b2＋c2＋bc，所以b2＋c2＝24－bc≥2bc，所以bc≤8，当且仅当b＝c＝2时取等号， 所以S△BAC＝bcsin ∠BAC＝bc≤2，即△BAC的面积最大值为2， 所以VP－ABC＝PA·S△BAC≤×3×2＝2，即三棱锥P－ABC的体积的最大值为2，故选D. 答案　D （2）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则该正三棱锥体积的最大值为 　　　　⁠.  解析　因为V球＝4πR2＝36π，所以正三棱锥外接球半径R＝3. 正三棱锥如图所示，设外接球球心为O，过P向底面作垂线，垂足为D，则PD必经过点O. 设OD＝a（0≤a＜3）， 因为P－ABC是正三棱锥，所以D是△ABC的中心， 所以OP＝OA＝3，AD＝＝. 又因为∠ADB＝，所以AB＝BC＝AC＝×， 所以S△ABC＝×AB×AC×sin ＝（9－a2）， 所以VP－ABC＝×S△ABC×PD＝×（9－a2）×（3＋a）＝（－a3－3a2＋9a＋27）. 令f（a）＝－a3－3a2＋9a＋27， f'（a）＝－3a2－6a＋9＝－3（a＋3）（a－1）＝0， 解得a＝－3或a＝1， 所以f（a）在[0，1）递增，在（1，3）递减， 故当a＝1时，VP－ABC取最大值，（VP－ABC）max＝8. 答案　8 ⁠ 求体积的最值时，若不宜构建单变量的目标函数，则考虑用基本不等式求解，若可构建单变量的目标函数，则可以建立函数模型求解. 类型二　角的最值 [典例2]　（1）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，＝，＝λ，当直线DD1与平面MNE所成的角最大时，λ＝ （　　） A. B. C. D. 解析　如图建立空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， 则M，N，C（0，1，0），B1（1，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1）， ∴＝λ＝λ（－1，0，－1），E（1－λ，1，1－λ），＝，＝. 设平面MNE的法向量为m＝（x，y，z），则 ∴令x＝1，可得m＝，又＝（0，0，1）. 设直线DD1与平面MNE所成的角为α，则 sin α＝＝＝＝， 又α∈， ∴当λ＝时，sin α有最大值，即直线DD1与平面MNE所成的角最大. 答案　C （2）如图，四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，BC＝CD＝.现将△ABD沿BD折起，当二面角A－BD－C处于过程中，直线AD与BC所成角的余弦值取值范围是 （　　） A. B. C. D. 解析　设向量与所成角为θ1，二面角A－BD－C的平面角大小为θ2. 因为BC2＋CD2＝BD2，所以BC⊥CD.又BC＝CD，所以∠BDC＝∠DBC＝， ·＝2×2×cos ＝－2，·＝2××cos ＝－2. 因为＝＋＋，所以｜｜2＝｜＋＋｜2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝2＋4cos θ1.取BD中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，∠AEC＝θ2，AE＝，CE＝1. 在△AEC中，AC2＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos θ2，即AC2＝4－2cos θ2， 所以2＋4cos θ1＝4－2cos θ2，即cos θ1＝－cos θ2. 又因为θ2∈，所以cos θ1∈. 因为异面直线所成角范围为，所以直线AD与BC所成角的余弦值取值范围是. 答案　D ⁠ 涉及空间角的最值问题，可以通过建立空间直角坐标系，用坐标表示要求的最值，结合函数求解最值. $