第6章 第4讲 数列求和-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第六章　数列 第4讲　数列求和 ⁠ 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法. ⁠ [对应学生用书P121] 1.特殊数列的求和公式 （1）等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋⁠⁠　d　⁠. d　 （2）等比数列的前n项和公式： Sn＝⁠ 2.数列求和的几种常用方法 （1）分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. （2）裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. （3）错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. （4）倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. ⁠⁠ 裂项求和常用的三种变形 （1）＝－. （2）＝. （3）＝－. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝. （　　） 答案　（1）√　 （2）当n≥2时，＝. （　　） 答案　（2）√　 （3）求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和. （　　） 答案　（3）×　 （4）若数列a1，a2－a1，…，an－是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝. （　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第二册P25练习T6改编）已知等差数列{an}，a2＝3，a5＝6，则数列的前8项和为 （　　） A. B. C. D. 解析　由a2＝3，a5＝6可得公差d＝＝1，所以an＝a2＋d＝n＋1， 因此＝＝－，所以前8项和为＋＋…＋＝－＝. 答案　B 3.（人A选择性必修第二册P41练习T12改编）已知等差数列{an}首项为1，公差为2，数列{bn}满足bn＝2n－1（n∈N*），记数列{an＋bn}的前n项和为Tn，则T10＝（　　） A.2 147 B.1 123 C.1 078 D.611 解析　由题意，an＝2n－1，an＋bn＝2n－1＋2n－1，所以T10＝＋＝100＋210－1＝1 123. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（裂项失误）已知an＝2n＋1，设bn＝，数列{bn}的前n项和Tn＝ 　　　　⁠.  解析　由an＝2n＋1，bn＝＝＝， 所以数列{bn}的前n项和为 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝－＝. 答案　 5.（忽略相加后Sn前的系数致误）已知数列的通项公式为an＝，则此数列的前n项和Sn＝ 　　　　⁠.  解析　由题知Sn＝＋＋＋…＋，① 所以Sn＝＋＋＋…＋＋，② ①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－， 所以Sn＝2－－. 答案　2－－ ⁠ [对应学生用书P122] 考点1　分组求和与并项求和（师生共研） [例1]　已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. （1）求数列{an}的通项公式； 解　（1）当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－＝－＝n. a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. （2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和. 解　（2）由（1）知an＝n，故bn＝2n＋（－1）nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝（21＋22＋…＋22n）＋（－1＋2－3＋4－…＋2n）. 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋[－（2n－1）＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 【发散探究】 本例（2）中，条件不变，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　当n为偶数时， Tn＝（21＋22＋…＋2n）＋[－1＋2－3＋4＋…－（n－1）＋n]＝＋＝2n＋1－2＋. 当n为奇数时， Tn＝（21＋22＋…＋2n）＋[－1＋2－3＋4＋…－（n－2）＋（n－1）－n]＝2n＋1－2＋－n ＝2n＋1－. 综上，Tn＝ ⁠ 分组求和与并项求和法的应用策略 一般地，如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an±bn}或cn＝的前n项和Sn时，可采用分组求和法求和.如果cn＝（－1）n·an，求cn的前n项和时，可采用并项求和法求和. 变式训练 （2022·山东潍坊·三模）在①数列{an}为等差数列，且a1＝1，an＋1＝2an－（2n－3）；②a1＝2，2Sn＝（n＋1）an；③正项数列{an}满足4Sn＝＋2an－3这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并