第5章 自主培优9 极化恒等式-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第五章　平面向量、复数 自主培优9　极化恒等式 对应学生用书P107 　　极化恒等式的证明过程与几何意义 证明过程：如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b. ｜｜2＝（a＋b）2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2， ｜｜2＝（a－b）2＝｜a｜2－2a·b＋｜b｜2， 两式相减得a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]，此即极化恒等式. 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的. 类型一　求数量积的值 [典例1]　如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝ 　　　　⁠.  解析　由·＝OA2－＝－7，得BD＝8，则·＝OC2－＝9. 答案　9 ⁠ 1.极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 2.极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积. 类型二　求数量积的最值或范围 [典例2]　（1）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是 （　　） A.[0，1] B. C.[1，2] D. 解析　如图所示： 考虑P是线段AB上的任意一点，＝＋，＝＋＝－， 圆O的半径长为1，由于P是线段AB上的任意一点，则∈， 所以·＝·＝－∈. 答案　A （2）在平面直角坐标系xOy中，A，B分别在x轴、y轴正半轴上移动，AB＝2，若点P满足·＝2，则OP的取值范围为 　　　　⁠.  解析　取AB的中点为C，连接PC，则·＝2＝－＝－1，∴PC＝， 故P在以C为圆心，为半径的圆上. 由条件知，O在以AB为直径的半圆上，故OP∈[－1，＋1]. 答案　[－1，＋1] ⁠ 求数量积的最值或范围，一般用极化恒等式转化为点到直线的距离最小，或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，或用基本不等式等求得中线长的最值（范围）. $