第5章 第3讲 平面向量的数量积-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第五章　平面向量、复数 第3讲　平面向量的数量积 ⁠ 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 3.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. ⁠ [对应学生用书P104] 1.平面向量数量积的有关概念 （1）向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. （2）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量⁠⁠　｜a｜｜b｜cos θ　⁠叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝⁠⁠　｜a｜｜b｜cos θ　⁠.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.  ｜a｜｜b｜cos θ　 ｜a｜｜b｜cos θ　 （3）投影向量 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则⁠⁠　　⁠就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝｜a｜cos θ e. 　 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角. （1）数量积：a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝x1x2＋y1y2. （2）模：｜a｜＝＝. （3）夹角：cos θ＝＝. （4）两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. （5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）⇔｜x1x2＋y1y2｜≤·. 3.平面向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a（交换律）. （2）λa·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（结合律）. （3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）. ⁠⁠ 1.平面向量数量积运算的常用公式 （1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2； （2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2. 2.有关向量夹角的两个结论 （1）两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线. （2）两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）两个向量的夹角的范围是. （　　） 答案　（1）×　 （2）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量. （　　） 答案　（2）×　 （3）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. （　　） 答案　（3）√　 （4）若a·b＝a·c（a≠0），则b＝c. （　　） 答案　（4）× ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第二册P24T19改编）向量a，b满足＝，｜b｜＝1，＝1，则向量a，b的夹角是 （　　） A. B. C. D. 解析　由＝1两边平方得a2－4a·b＋4b2＝1， 3－4××1×cos＜a，b＞＋4＝1，cos＜a，b＞＝＞0，0≤＜a，b＞≤π， ＜a，b＞＝. 答案　A 3.（人A必修第二册P24T21改编）已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，a·b＝－12，则向量b在a方向上的投影向量为 （　　） A.－a B.－b C.－b D.－a 解析　设a与b的夹角为θ，则向量b在a方向上的投影向量为·cos θ·＝··＝·a＝×a＝－a. 答案　A ｜易错自纠｜ 4.（向量夹角的概念不清致误）已知等边△ABC的边长为2，则·＝（　　） A.2 B.－2 C.－ D. 解析　因为向量，的夹角为，所以·＝2×2×cos＝－2，故选B. 答案　B 5.（忽视向量夹角为锐角的条件致误）已知平面内两个向量a＝，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是 　　　　⁠.  解析　由题意，a·b＝2k＋＜0，∴k＜0. 当a，b反向时，有＝＜0，解得k＝－1，∴k的取值范围是∪. 答案　∪ ⁠ [对应学生用书P105] 考点1　数量积的计算（师生共研） [例1]　（1）（2022·山东济南·二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且＝2，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则·的值为 （　　） A. B.－ C. D.－ 解析　∵D在线段BC上，且＝2，∴S△ACD＝S△ABD.又E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，∴S△ABE＝S△ABD，E为AD的中点. 如图，建立平面直角坐标系，则B，A，D，C，E， ∴＝，＝， ∴·＝×－×＝－. 答案　D （2）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则·的最