第3章 第2讲 导数与函数的单调性-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第三章　一元函数的导数及其应用 第2讲　导数与函数的单调性 ⁠ 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. ⁠ [对应学生用书P57] 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝ f（x）在区间（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在（a，b）上⁠⁠　单调递增　⁠ f'（x）＜0 f（x）在（a，b）上⁠⁠　单调递减　⁠ f'（x）＝0 f（x）在（a，b）上是⁠⁠　常数函数　⁠ 单调递增　 单调递减　 常数函数　 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的⁠⁠　定义域　⁠； 第2步，求出导函数f'（x）的⁠⁠　零点　⁠； 第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性. 定义域　 零点　 ⁠⁠ 1.若函数f（x）在区间（a，b）上递增，则f'（x）≥0，所以“f'（x）＞0在（a，b）上成立”是“f（x）在（a，b）上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f（x），“f'（x0）＝0”是“函数f（x）在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）如果函数f（x）在某个区间内恒有f'（x）≥0，则f（x）在此区间内单调递增. （　　） 答案　（1）×　 （2）在（a，b）内f'（x）≤0且f'（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）内是减函数. （　　） 答案　（2）√　 （3）如果函数f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内不具有单调性. （　　） 答案　（3）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第二册P86例2改编）设函数f（x）在定义域内可导，f（x）的图象如图所示，则其导函数f'（x）的图象可能是 （　　） 解析　由f（x）的图象可知，当x∈时，函数单调递增，则f'≥0，故排除C、D； 当x∈时，f（x）先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B.故选A. 答案　A 3.（人A选择性必修第二册P97习题5.3T1改编）函数f＝x－ex的单调递减区间是（　　） A.（－∞，ln 2） B.（ln 2，＋∞） C.（－∞，2） D.（2，＋∞） 解析　f'（x）＝1－ex，由f'（x）＜0，得x＞ln 2，所以f（x）的单调递减区间为（ln 2，＋∞）. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（忽略函数的定义域致错）函数f＝xln x的单调递减区间是 （　　） A. B. C. D. 解析　f＝xln x，x∈，则f'＝ln x＋1，由f'＜0，得0＜x＜，故选D. 答案　D 5.（求参数范围忽视等号成立致误）函数f＝ax＋ex在（－∞，1]上是减函数，则实数a的取值范围是 （　　） A.（－∞，－1] B.（－∞，－1） C. D. 解析　由题意知，f'（x）＝a＋ex≤0在（－∞，1]上恒成立，得a≤（－ex）min， 又函数y＝－ex在（－∞，1]上单调递减，所以（－ex）min＝－e，所以a≤－e. 答案　D ⁠ [对应学生用书P58] 考点1　不含参函数的单调性（题组通关） 1.（多选）下列函数在定义域上为增函数的有 （　　） A.f＝x－ B.f＝xex C.f＝x＋sin x D.f＝ex－e－x－2x 解析　对于A选项，函数f＝x－的定义域为， 因为f＝f＝0，所以函数f＝x－在定义域上不是增函数； 对于B选项，函数f＝xex的定义域为R，且f'＝ex， 当x＜－1时，f'＜0，即函数f＝xex的单调递减区间为， 故函数f＝xex在定义域上不是增函数； 对于C选项，函数f＝x＋sin x的定义域为R，f'＝1＋cosx≥0且f'不恒为零， 所以函数f＝x＋sin x在R上为增函数； 对于D选项，函数f＝ex－e－x－2x的定义域为R， f'＝ex＋e－x－2≥2－2＝0当且仅当x＝0时，等号成立且f'不恒为零， 所以函数f＝ex－e－x－2x在R上为增函数. 答案　CD 2.已知x∈，函数f＝excos x的单调递增区间为 （　　） A. B. C. D. 解析　因为f＝excos x，所以f'＝ex，令f'＝0，解得x＝， 当x∈时，f'＞0，当x∈时，f'＜0， 所以f在上单调递增，在上单调递减， 所以f在上的单调递增区间为，故选C. 答案　C 3.已知函数f（x）＝x2－5x＋2ln x，则函数f的单调递增区间是 　　　　⁠.  解析　函数f＝x2－5x＋2ln x，其定义域为， 则f'＝2x－5＋2×＝，令f'＝0，解