第2章 第9讲 函数模型及其应用-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第9讲　函数模型及其应用 ⁠ 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. ⁠ [对应学生用书P49] 1.六种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 指数函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0） 对数函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0） 幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0） “对勾”函数模型 y＝x＋（a为常数，a＞0） 2.三种函数模型性质比较 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xn（n＞0） 在（0， ＋∞）上的单调性 ⁠⁠　增函数　⁠ ⁠⁠　增函数　⁠ ⁠⁠　增函数　⁠ 增长速度 ⁠⁠　越来越快　⁠ ⁠⁠　越来越慢　⁠ 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与⁠⁠　y轴 　⁠接近平行 随x值增大，图象与⁠⁠　x轴　⁠接近平行 随n值变化而不同 增函数　 增函数　 增函数 越来越快　 越来越慢　 y轴 x轴 3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 ⁠⁠ 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2.“对勾”函数f（x）＝x＋（a＞0）在（0，＋∞）上的性质：在（0，]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增，当x＝时，f（x）取最小值2. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利. （　　） 答案　（1）×　 （2）函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大. （　　） 答案　（2）×　 （3）不存在x0，使＜＜logax0. （　　） 答案　（3）×　 （4）在（0，＋∞）上，随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度会超过并远远大于y＝xa（a＞0）的增长速度. （　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P152例6改编）面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神.下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是 （　　） A.y＝ax＋b B.y＝ax2＋bx＋c C.y＝ax D.y＝logax 解析　根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合.ACD选项都是单调函数，不符合.故选B. 答案　B 3.（人A必修第一册P155习题4.5T9改编）声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L＝10 lg，若女高音的声强级是75 dB，普通女性的声强级为45 dB，则女高音声强是普通女性声强的 （　　） A.10倍 B.100倍 C.1 000倍 D.10 000倍 解析　设女高音声强为I1，普通女性声强为I2，则10lg＝75，所以＝107.5①，10lg＝45，所以＝104.5②，则①÷②，得＝1 000，故女高音声强是普通女性声强的1 000倍. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（指数函数、对数函数性质不明致误）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长.已知a个这种病毒在t天后将达到aeλt个，且经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍.若再过t天后病毒的数量达到原来的8倍，则t＝ （　　） A.4 B.8 C.12 D.16 解析　由题意得ae4λ＝2a，∴λ＝，即f＝a. 设经过t天后，病毒的数量达到原来的8倍，则有a＝8a，解得t＝12. 所以再过12－4＝8（天），病毒的数量达到原来的8倍. 答案　B 5.（平均增长率概念不清致误）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 　　　　⁠.  解析　设年平均增长率为x，则（1＋x）2＝（1＋p）（1＋q），所以x＝－1. 答案　－1 ⁠ [对应学生用书P50] 考点1　用函数的图象刻画变换过程（师生共研） [例1]　（1）如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y（见图中阴影部分），则函数y＝f的大致图象为（　　） 解析　根据题意，△OAB是边长为2的等边三角形，则A点的坐标为（1，），B点的坐标为（2，