第2章 第4讲 幂函数与二次函数-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第4讲　幂函数与二次函数 ⁠ 1.了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. ⁠ [对应学生用书P31] 1.幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数⁠⁠　y＝xα　⁠叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. y＝xα　 （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在（0，＋∞）上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点（1，1）和（0，0），且在（0，＋∞）上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点（1，1），且在（0，＋∞）上单调递减. 2.二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式：f（x）＝⁠⁠ax2＋bx＋c（a≠0）　⁠. 顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），顶点坐标为⁠⁠（m，n）　⁠. 零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的零点. （2）二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0） y＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象（抛物线） ⁠ ⁠ 定义域 ⁠⁠　R　⁠ 值域 ax2＋bx＋c（a≠0）　 （m，n）　 R　 对称轴 x＝⁠⁠　－　⁠ 顶点坐标 ⁠⁠　　⁠ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是⁠⁠　减　⁠函数； 在上是⁠⁠　增　⁠函数 在上是⁠⁠　增　⁠函数； 在上是⁠⁠　减　⁠函数 －　 　 减　 增　 增　 减　 ⁠⁠ 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当时，恒有f（x）＞0；当时，恒有f（x）＜0. 3.（1）幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； （2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）函数y＝2是幂函数. （　　） 答案　（1）×　 （2）当α＞0时，幂函数y＝xα在（0，＋∞）上是增函数. （　　） 答案　（2）√　 （3）当n是偶数时，幂函数y＝（m，n∈Z，且m是奇数）是偶函数. （　　） 答案　（3）√　 （4）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈[a，b]）的最值一定是. （　　） 答案　（4）× ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P58T6改编）已知函数f＝xm为幂函数，则m＝ （　　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析　由已知，得m2－4m＋5＝1，解得m＝2. 答案　D 3.（人A必修第一册P91练习T1改编）若函数f＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2] B.（－∞，－2]∪[2，＋∞） C.（－∞，－2）∪（2，＋∞） D.（2，＋∞） 解析　f＝x2－ax＋1＝＋1－，要使函数有负值，则其最小值f＝1－＜0，解得a＜－2或a＞2. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（二次函数性质不明致错）已知函数f（x）＝ax2－x＋1在区间（1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为 （　　） A. B. C. D. 解析　当a＝0时，函数f（x）＝－x＋1是实数集上的减函数，不符合题意； 当a≠0时，二次函数f（x）＝ax2－x＋1的对称轴为直线x＝， 由题意有解得a≥. 答案　D 5.（二次函数图象特征不明致错）已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是 （　　） 解析　由题意，函数y＝ax2＋bx＋c， 因为a＋b＋c＝0，令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0，即函数图象过点（1，0）. 又由a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，所以抛物线的开口向上，可排除D项， 令x＝0，可得y＝c＜0，可排除B、C项.故选A. 答案　A ⁠ [对应学生用书P32] 考点1　幂函数的图象与性质（题组通关） 1.（多选）幂函数f＝在上是增函数，则以下说法正确的是 （　　） A.m＝3 B.函数f在上单调递增 C.函数f是偶函数 D.函数f的图象关于原点对称 解析　因为幂函数f＝在上是增函数， 所以解得m＝3，所以f＝x3， 所以f＝＝－x3＝－f，故f＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称， 所以f在上单调递增.故选ABD. 答案　ABD 2.已知幂函数y＝（p∈Z）的图象关于y轴对称，如图所示，则 （　　） A.p为奇数，且p＞0 B.p为奇数，且p＜0 C.p为偶数，且p＞0 D.p为偶数，且p＜0 解析　因为函数y＝的图象关于y轴对称，所以函数y＝为偶函数，即p为偶数. 又函数y＝的定义域为（－