第2章 第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第3讲　函数的奇偶性、周期性与对称性 ⁠ 1.理解函数奇偶性的含义. 2.了解函数的最小正周期的含义. 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. ⁠ [对应学生用书P26] 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且⁠⁠　f（－x）＝f（x）　 ⁠，那么函数f（x）就叫做偶函数 关于⁠⁠　y轴　⁠对称 奇函数 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且⁠⁠（－x）＝－f（x） 　⁠，那么函数f（x）就叫做奇函数 关于⁠⁠　原点　⁠对称 f（－x）＝ f （x）　 y轴　 f（－x）＝ －f（x）　 原点　 2.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的⁠⁠　最小　⁠正周期. 最小　  ⁠⁠ 1.函数周期性的常用结论 对f（x）定义域内任一自变量的值x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）. （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）. （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. 2.对称性的四个常用结论 （1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. （2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称. （3）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f（a＋x）＝f（a－x）或f（x）＝f（2a－x）时，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.  （4）若函数y＝f（x）满足f（x）＋f（2a－x）＝2b，则y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称.特别地，当b＝0时，即f（a＋x）＋f（a－x）＝0或f（x）＋f（2a－x）＝0时，则y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数. （　　） 答案　（1）×　 （2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0. （　　） 答案　（2）×　 （3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期. （　　） 答案　（3）√　 （4）若函数f（x）满足关系f（a＋x）＝－f（b－x），则函数f（x）的图象关于点对称. （　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P86习题3.2T11改编）已知函数f（x）＝为偶函数，则g＝（　　） A.2 B. C.－2 D.－ 解析　∵函数f为偶函数， ∴当x＜0时，－x＞0，f＝e－x，∴f＝e－x，即g＝e－x. 又ln＝－ln 2＜0，故g＝＝eln 2＝2. 答案　A 3.（人A必修第一册P203练习T4改编）若函数f满足f＝f，且当x∈时，f＝3－x＋1，则f＝ （　　） A. B.10 C.4 D.2 解析　由f＝f，得f＝f，∴函数f是周期函数，且4是它的一个周期.又当x∈时，f＝3－x＋1，∴f＝f＝f＝9＋1＝10，故选B. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（判定函数奇偶性忽视定义域致误）函数f（x）＝是 　　　　　⁠函数.（填“奇”“偶”“非奇非偶”）  解析　由得－1＜x＜0或0＜x＜1，即f （x）的定义域为（－1，0）∪（0，1）， 所以f （x）＝，所以f （－x）＝＝－ f （x），所以f （x）是奇函数. 答案　奇 5.（不能灵活利用函数性质致误）已知函数f对任意实数x都有f（1－x）＝f，当x＞1时，f＝，则f（－1）＝ 　　　　⁠.  解析　f（1－x）＝f，取x＝2得到f（－1）＝f＝＝. 答案　 ⁠ [对应学生用书P27] 考点1　函数的奇偶性（多维探究） 角度1　函数奇偶性的判断 [例1]　判断下列函数的奇偶性. （1）f（x）＝x3－；（2）f（x）＝； （3）f（x）＝＋； （4）f（x）＝ 解　（1）原函数的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f（－x）＝（－x）3－＝－＝－f（x），从而函数f（x）为奇函数. （2）由得－2＜x＜2，即函数f（x）的定义域是{x｜－2＜x＜2}，关于原点对称. 因此f（x）＝＝lg（4－x2），所以f（－x）＝f（x），因此函数f（x）是偶函数. （3）f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称.又