第2章 第2讲 函数的单调性与最大（小）值-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第2讲　函数的单调性与最大（小）值 ⁠ 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ⁠ [对应学生用书P23] 1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 增函数 减函数 定义 当x1＜x2时，都有⁠⁠　f（x1）＜f（x2）　⁠，那么就称函数f（x）在区间D上单调递增，特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有 ⁠⁠　f（x1）＞f（x2）　⁠，那么就称函数f（x）在区间D上单调递减，特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f（x1）＜f（x2）　 f（x1）＞f（x2）　 增函数 减函数 图象 描述 ⁠ 自左向右看图象是上升的 ⁠ 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数y＝f（x）在区间D上⁠⁠　单调递增　⁠或⁠⁠　单调递减　⁠，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，⁠⁠　区间D　⁠叫做y＝f（x）的单调区间. 单调递增　 单调递减　 区间D　 2.函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 （1）∀x∈I，都有⁠⁠　f（x）≤M　⁠； （2）∃x0∈I，使得⁠⁠　f（x0）＝M　⁠ （1）∀x∈I，都有⁠⁠　f（x）≥M　⁠； （2）∃x0∈I，使得⁠⁠　f（x0）＝M　⁠ 结论 M为最大值 M为最小值 f（x）≤M　 f（x0）＝M　 f（x） ≥M　 f（x0）＝ M　 ⁠⁠ 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f（x）（f（x）＞0或f（x）＜0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数. （　　） 答案　（1）×　 （2）函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）. （　　） 答案　（2）×　 （4）对于函数f（x），x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2，有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，则函数f（x）在区间D上是增函数. （　　） 答案　（4）√ （3）函数y＝的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）. （　　） 答案　（3）×　 ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P81练习T3改编）设函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝ （　　） A.4 B.6 C.10 D.24 解析　因为f（x）＝＝2＋，所以f（x）在[3，4]上是减函数. 所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6.所以M＋m＝6＋4＝10. 答案　C 3.（人A必修第一册P79例3改编）函数y＝的单调增区间为 （　　） A. B. C.和 D.∪ 解析　由4＋3x－x2≠0可得x≠－1且x≠4，因为y＝4＋3x－x2开口向下，其对称轴为x＝，所以y＝4＋3x－x2的减区间为和，所以y＝的单调增区间为和. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（忽视函数的定义域致错）函数y＝f（x）为定义在上的增函数，且 f（2m）＞f（－m＋1），则实数m的取值范围是 　　　　⁠.  解析　由题意得解得＜m＜1.所以实数m的取值范围是. 答案　. 5.（混淆函数的单调区间和在某区间上单调）若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是 　　　　⁠.  解析　∵f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3的开口向下， 对称轴方程为x＝－（a＋1），要使f（x）在（－∞，3]上是增函数， 只需－（a＋1）≥3，即a≤－4，∴实数a的取值范围为（－∞，－4]. 答案　（－∞，－4] ⁠ [对应学生用书P24] 考点1　确定函数的单调性（单调区间）（师生共研） [例1]　（1）函数y＝lo的单调递减区间是 （　　） A. B. C. D. 解析　令y＝lou，u＝－x2＋4x＋12.由u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6. 因为函数y＝lou是关于u的递减函数，且x∈时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，所以y＝lo为减函数， 所以函数y＝lo的单调递减区间是. 答案　C （2）讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（－1，1）上的单调性. 解　任取x1，x2∈（－1，1），且x1＜x2，f（x）＝＝a，则 f（x1）－f（x2