第1章 自主培优2 应用基本不等式的八种变形技巧-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 自主培优2　应用基本不等式的八种变形技巧 对应学生用书P14 　　基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值. 技巧一　加减配凑定值 [典例1]　若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为 （　　） A.4 B.6 C.2＋2 D.2－2 解析　因为x＞2， 所以y＝x＋＝＋＋2≥ 2＋2＝6. 当且仅当x－2＝，即x＝4时取“＝”. 答案　B ⁠ 对于因不能出现“定值”而不能使用基本不等式的情况，可以通过加、减（乘以）一个数后使和或积为定值. 技巧二　平方后应用基本不等式 [典例2]　若x＞0，y＞0，且2x2＋＝8，求x的最大值. 解　（x）2＝x2（6＋2y2）＝3·2x2·≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立.故x的最大值为. ⁠ 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值. 技巧三　展开后应用基本不等式 [典例3]　已知正实数x，y满足x＋2y＝2，则＋的取值可能为 （　　） A. B. C. D. 解析　因为正实数x，y满足x＋2y＝2， 所以＋＝＝≥＝，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，故选D. 答案　D 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值. 技巧四　和与积的相互转换 [典例4]　（2022·浙江台州·二模）已知正实数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为 　　　　⁠；a2＋ab＋a＋b－的最大值为 　　　　⁠.  ②a2＋ab＋a＋b＝（a＋b）（a＋1）≤＝＝，当且仅当a＋b＝a＋1，即a＝，b＝1时取等号. 又由上知ab≤，故－≤－4，当且仅当a＝，b＝1时取等号，所以a2＋ab＋a＋b－≤＋＝－，当且仅当a＝，b＝1时取等号. 答案　　－ 解析　①由2＝2a＋b≥2，得ab≤，当且仅当2a＝b＝1，即a＝，b＝1时取等号； ⁠ 对已知条件含ab，a＋b型等式的最值问题，可以通过使用基本不等式转化为只含ab（或a＋b）的不等式. 技巧五　拆分应用基本不等式 [典例5]　若函数f＝在x＝a处取最小值，则a＝ （　　） A.1＋ B.2 C.4 D.6 解析　由题意，x－2＞0，而f＝＝＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以a＝4. 答案　C 若y＝中f（x）的次数小于g（x）的次数，可取倒数后求其最值. 技巧六　常数代换应用基本不等式 [典例6]　已知a＞0，b＞0，＋＝1，若不等式2a＋b≥m恒成立，则m的最大值为（　　） A.2＋ B.3＋ C.3＋2 D.5 解析　由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a＋b的最小值. 由a＞0，b＞0，＋＝1， 可得2a＋b＝（2a＋b）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1＋，b＝＋1时取等号，∴m≤3＋2，∴m的最大值为3＋2，故选C. 答案　C ⁠ 求形如或可化为＋＝1型为条件的cx＋dy（a，b，c，d都不为0）的最值可利用“1”的代换求解. 技巧七　代换消元应用基本不等式 [典例7]　已知x＞0，y＞0，z＞0且x2＋y2＋z2＝2，则的最小值为 　　　　⁠.  解析　由题意，得2－z2＝x2＋y2≥2xy，于是≥＝z＋≥2＝2，当且仅当z＝1，x＝y＝时，有最小值，最小值为2. 答案　2 ⁠ 在含有两个及以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解. 技巧八　建立目标应用基本不等式 [典例8]　已知x＞0，y＞0，2xy＝x＋y＋4，则x＋y的最小值为 　　　　⁠.  解析　由题知x＞0，y＞0，由基本不等式，得xy≤，即x＋y＋4≤2×. 令t＝x＋y，t＞0，则有t＋4≤2×，整理得t2－2t－8≥0，解得t≤－2（舍去）或t≥4， 即x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以x＋y的最小值为4. 答案　4 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值. $