第1章 第4讲 基本不等式-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第4讲　基本不等式 ⁠ 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在生活实际中的应用. ⁠ [对应学生用书P11] 1.基本不等式：≤ （1）基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. （2）等号成立的条件：当且仅当⁠⁠　a＝b　⁠时取等号. （3）其中⁠⁠　　⁠叫做正数a，b的算术平均数，⁠⁠　　⁠叫做正数a，b的几何平均数. a＝b　 　 　 2.两个重要的不等式 （1）a2＋b2≥⁠⁠　2ab　⁠（a，b∈R），当且仅当a＝b时取等号. （2）ab≤（a，b∈R），当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 （1）已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值⁠⁠2　⁠. （2）已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值⁠⁠S2　⁠. 2ab　 2　 S2　 ⁠⁠ 1.＋≥2（a，b同号），当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤≤. 3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的. （　　） 答案　（1）×　 （2）函数y＝x＋的最小值是2. （　　） 答案　（2）×　 （3）函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.（　　） 答案　（3）×　 （4）“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件. （　　） 答案　（4）× ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P46例3改编）已知a＞0，b＞0且2a＋5b＝10，则ab的最大值为（　　） A.2 B.5 C. D. 解析　因为2a＋5b＝10≥2，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立. 所以ab的最大值为. 答案　D 3.（人A必修第一册P46例3（2）改编）设计用32 m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2 m，则车厢的最大容积是 （　　） A.（38－3）m3 B.16 m3 C.4m3 D.14 m3 解析　设长方体车厢的长为x m，高为h m，则2x＋2×2h＋2xh＝32，即x＋2h＋xh＝16， ∴16＝x＋2h＋xh≥2＋xh，即xh＋2－16≤0，解得0＜≤2，∴0＜xh≤8. ∴车厢的容积为V＝2xh≤16（m3）.当且仅当x＝2h且x＋2h＋xh＝16，即x＝4，h＝2时等号成立.∴车厢容积的最大值为16 m3.选B. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（忽视基本不等式的应用条件致误）下列函数，最小值为2的函数是（　　） A.y＝x＋ B.y＝x2－2x＋2 C.y＝x＋2＋3 D.y＝ 解析　对于A，y可取负数，故A错误； 对于B，y＝（x－1）2＋1≥1，故B错误； 对于C，y＝（＋1）2＋2≥3，故C错误； 对于D，y＝＝＝＋≥2，等号成立当且仅当x＝0时，故D正确.故选D. 答案　D 5.（不能灵活配凑致误）函数y＝x（3－2x）的最大值为 （　　） A.3 B. C. D. 解析　y＝x（3－2x）≤·＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时等号成立. 答案　D ⁠ [对应学生用书P12] 考点1　利用基本不等式求最值（多维探究） 角度1　配凑法 [例1]　（1）已知0＜x＜，则的最大值为 　　　　⁠.  解析　＝≤＝， 当且仅当4x＝5－4x，即x＝时等号成立. 答案　 （2）当x＜时，则函数y＝x＋的最大值为 　　　　⁠.  解析　x＜，则2x－3＜0，3－2x＞0， y＝x＋ ＝（2x－3）＋＋ ＝－＋≤－2＋＝－，当且仅当＝，即x＝－时等号成立. 答案　－ （3）函数f＝的最小值为 　　　　⁠.  解析　f（x）＝＝＝（x－1）＋＋1. ∵x＞1，∴x－1＞0， ∴（x－1）＋≥2＝4（当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号）， ∴f（x）min＝4＋1＝5. 答案　5 （3）函数f＝的最小值为 角度2　常数代换法 [例2]　（2022·天津红桥·一模）设a＞0，b＞1，若a＋b＝2，则＋的最小值为（　　） A.6 B.9 C.3 D.18 解析　∵a＞0，b＞1，且a＋b＝2，∴b－1＞0且a＋（b－1）＝1， ∴＋＝[a＋（b－1）]＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝且b＝时取等号， 故＋的最小值为9.故选B. 答案　B 角度3　消元法 [例3]　已知x＜0，且x－y＝1，则x＋的最大值是 　　　　⁠.  解析　因为x＜0，且x－y＝1，所以x＝y＋1，y＜－1，所以x＋＝y＋1＋＝y