拓展一：排列组合18种常考考法归类 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

拓展一：排列组合18种常见考法归类 考点一 直接法 考点二 特殊元素和特殊位置优先法 考点三 相邻问题捆绑法 考点四 相离问题插空法 考点五 相邻问题和相离问题综合 考点六 定序问题倍缩法 考点七 分堆分配问题 考点八 相同元素隔板法 考点九 间接法 考点十 环（圆）排问题直排法 考点十一 多排问题单排法 考点十二 小集团问题先整体后局部法 考点十三 两类元素的排列，组合选位法 考点十四 含约束条件问题合理分类与分步法 考点十五 数字排序问题查字典法 考点十六 简单问题实际操作穷举法 考点十七 排列组合综合问题 考点十八 涂色问题分类分步综合法 排列组合问题的解题方法主要有捆绑法、插空法、隔板法、间接法等.不同解题方法适用情境以及在相关细节的处理上存在较大差异.只有充分把握其本质，对相关情境进行正确、合理地想象，正确选择对应的解题方法，才能提高解题效率，因此，实践中应严把理解关，使学生真正地吃透与掌握. 直接法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 特殊元素或特殊位置优先法 所谓“优先法”是指在解决排列组合问题时，对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法之一。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 相邻元素用捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 不相邻用插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.部分习题创设的情境较为复杂，还需采用捆绑法等其他一些方法.总之，无论采用何种方法，应清楚形成的空的数量. 定序问题倍缩（消序法） 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法（消序法），还可用空位法。①消序法：将m＋n个元素排成一列，其中有m个元素之间的排列顺序不变，设排列数为x；然后允许这m个元素任意排列共有种排法，经过上述两步后，问题等价于m＋n个元素任意排成一列，共有种不同的排法，根据分步乘法计数原理得，因此②定序问题还可以采用先定后插或者先选后定等方法处理. 元素相同 隔板法 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入 n 个元素排成一排的个空当中，所有分法数为，隔板法中"隔板"的目的在于将元素划分成不同的“组别”，隔板既可以作为特殊的对象“插入”到实际元素形成的空中，也可将其看做特殊对象将其与实际元素进行针对性地排列组合.究竟采用何种方法，需具体问题具体分析. 间接法 排列组合问题中有一类问题采用直接方法虽然能分析出结果，但是步骤较为繁琐，对于多数学生而言容易忽略某一种情况为避免出错可采用间接法进行处理，有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。（在解答有关"至多"与"至少"的问题时，通常有两种方法：直接法或间接法.直接法是让学生在解决相关的问题时. 把重点放在对题目中每个元素的分析上面，这样可以确定相关元素的限制性，更好地寻找其他的元素，结合更多元素进行问题的综合考虑.而间接法则是先让学生忽略题目中给出的一些附加条件，再进行整体的排列组合和相关的数量计算，这样就可以得出一个结果，然后用这个附加条件来计算出一些不符合题目要求的结果，去除这些不合适的结果，这样就可以通过减法得出最后的答案.但需要注意的是，此类题型的做法有很多，学生在审题时，一定考虑好做题的入手角度，在做题过程中，不要忽略任何一种情况，因为是客观题，所以结果是得分的关键.如果在审题时你就发现不只有一种方法，那么选你最拿手的方法来思考，之后在检验时用其他方法.） 重排问题求幂法 允许重复的排列问题是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。一般地，n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为。 环排问题线排法 围桌而坐与坐成