第十二章 第5讲 数学归纳法-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案课件PPT（全国统考版）

第5讲　数学归纳法 第十二章　算法初步、复数、推理与证明 基础知识整合 第一个值n0(n0∈N*) n＝k＋1 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 2．数学归纳法的框图表示 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，当n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 A．1 B．2 C．3 D．0 答案 解析 解析　凸n边形的边最少有三条，故第一步检验n等于3.故选C． 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 2．已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明(　　) A．n＝k＋1时命题成立 B．n＝k＋2时命题成立 C．n＝2k＋2时命题成立 D．n＝2(k＋2)时命题成立 答案 解析 解析　因为n是正偶数，所以只需证命题对所有正偶数都成立．偶数k的下一个偶数是k＋2.故选B. 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 3．(2022·上海市复旦实验中学期末)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”等式右边的变化结果是(　　) A．增乘一个因式2k＋1 B.增乘两个因式2k＋1和2k＋2 C．增乘一个因式2(2k＋1) D.增乘2k＋1同时除以k＋1 答案 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 解析 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 A．7 B．8 C．9 D．10 答案 解析 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 5．(2022·江西萍乡模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝________时，命题亦真． 答案 解析 答案　2k＋1 解析　n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立． 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 答案 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 解析 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 核心考向突破 考向一　数学归纳法证明恒等式 证明 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 证明 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 　　　利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题 (1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略． (2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切勿忘记归纳结论． 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 证明 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 证明 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 考向二　数学归纳法证明不等式 证明 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 证明 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 　　　用数学归纳法证明不等式的两种形式 用数学归纳法证明与n(n∈N*)有关的不等式，一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，第二种形式往往要先对n取前几个值分别验证比较，然后猜出从某个n值开始都成立的结论． 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 证明 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 证明 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 证明 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 例3　设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n. (1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 考向三　归纳—猜想—证明 解 解　(1)由题意可得a2＝3a1－4＝9－4＝5， a3＝3a2－8＝15－8＝7， 由数列{an}的前三项可猜想数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，即an＝2n＋1. 证明：当n＝1时，a1＝3成立； 假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝2k＋1成立． 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 解 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1也成立． 则对任意的n∈N*，都有an＝2n＋1成立． (2)由(1)可知，an·2n＝(2n＋1)·2n， Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，① 2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，② 所以Sn＝(2