第三章 高考大题专题研究1 专题研究3 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案课件PPT（全国统考版）

高考大题专题研究一 专题研究(三)　利用导数研究函数的零点问题 第三章　导数及其应用 题型一　判断、证明函数的零点或方程的根 (1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由． 解 解　(1)证明：由题意可得 所以h(1)h(2)<0， 所以函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点． 课时作业 解 课时作业 解 当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点， 即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点， 则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点， 所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2. 课时作业 [解题策略]　利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点个数． (2)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的大致图象，数形结合求解函数零点的个数． 课时作业 解 变式训练1　(1)(2023·榆林模拟)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R，若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数． 在(0，x0)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． 所以f(x)max＝f(x0)． 当a＝1时，x0＝1，f(x)max＝f(1)＝0， 此时函数f(x)只有一个零点x＝1. 当a>1时，f(1)＝a－1>0， 课时作业 解 课时作业 (2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex－x和g(x)＝x－ln x，证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标x1，x2，x3满足x1＋x3＝2x2. 证明 证明　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0. 所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)＝ex－x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0. 课时作业 证明 所以函数g(x)＝x－ln x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 设u(x)＝f(x)－g(x)＝ex－2x＋ln x(x>0)， 当x≥1时，u′(x)>e－2>0， 所以函数u(x)在(1，＋∞)上单调递增， 因为u(1)＝e－2>0， 所以当x≥1时，u(x)≥u(1)>0恒成立， 即f(x)－g(x)>0在[1，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)与g(x)的图象在[1，＋∞)上无交点． 课时作业 证明 所以函数f(x)与函数g(x)的图象在(0,1)上存在唯一交点，设该交点为M(m，f(m))(0<m<1)， 由此可作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的大致图象， 课时作业 证明 由图象可知，当且仅当直线y＝b经过点M(m，f(m))时， 直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点， 因为三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3， 所以f(x1)＝f(x2)＝g(x2)＝g(x3)＝b. 因为f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x＝eln x－ln x＝f(ln x)， 所以f(x1)＝f(x2)＝f(ln x2)＝f(ln x3)． 由于x2≠x1，x2≠ln x2，所以x2＝ln x3，x1＝ln x2， 则f(ln x2)＝eln x2－ln x2＝x2－ln x2＝x2－x1＝b， f(ln x3)＝eln x3－ln x3＝x3－ln x3＝x3－x2＝b， 上述两式相减得x1＋x3＝2x2. 课时作业 证明 综上可得，存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标x1，x2，x3满足x1＋x3＝2x2. 课时作业 解 题型二　由函数零点个数求解参数取值范围问题 例2　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 课时作业 解 课时作业 解 ∴g(x)在(－1，＋∞)上单调递增， ∵g(－1)＝e－1>0， ∴